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  3. 已知的一个特征向量。 (I)求参数a，b及特征向量p所对应的特征值； (Ⅱ)问A能否相似对角化，并说明理由。

已知的一个特征向量。 (I)求参数a，b及特征向量p所对应的特征值； (Ⅱ)问A能否相似对角化，并说明理由。

admin2019-12-23  39
问题 已知的一个特征向量。
(I)求参数a，b及特征向量p所对应的特征值；
(Ⅱ)问A能否相似对角化，并说明理由。
选项
答案(I)设λ是特征向量p所对应的特征值，根据特征值的定义，有(A－λE)p﹦0，即 [*] 从而有方程组[*] 解得a﹦0，b﹦3，且特征向量p所对应的特征值为λ﹦2。 (Ⅱ)A的特征多项式为 ｜A－λE｜﹦[*]﹦－(λ﹢1)(λ﹢2)2 所以A的特征值为λ1﹦1，λ2﹦λ3﹦2。 对于单根λ1﹦1，可求得线性无关的特征向量恰有1个，故矩阵A可相似对角化的充分必要条件为对应重根λ2﹦λ3﹦2有2个线性无关的特征向量，即方程(A－2E)x﹦0有2个线性无关的解，系数矩阵A－2E的秩r(A－2E)﹦1。 [*] 故r(A－2E)﹦1，所以矩阵A可相似对角化。 本题考查矩阵的特征值与特征向量。题干已知矩阵的一个特征向量，根据特征值与特征向量的定义，可求得未知参数和特征值。n阶矩阵A可相似对角化的充分必要条件为A有n个线性无关的特征向量。
解析
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考研数学一

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