已知的一个特征向量。 (I)求参数a，b及特征向量p所对应的特征值； (Ⅱ)问A能否相似对角化，并说明理由。

admin2019-12-23 45

问题已知

的一个特征向量。
(I)求参数a，b及特征向量p所对应的特征值；
(Ⅱ)问A能否相似对角化，并说明理由。

选项

答案(I)设λ是特征向量p所对应的特征值，根据特征值的定义，有(A－λE)p﹦0，即 [*] 从而有方程组[*] 解得a﹦0，b﹦3，且特征向量p所对应的特征值为λ﹦2。 (Ⅱ)A的特征多项式为｜A－λE｜﹦[*]﹦－(λ﹢1)(λ﹢2)² 所以A的特征值为λ₁﹦1，λ₂﹦λ₃﹦2。对于单根λ₁﹦1，可求得线性无关的特征向量恰有1个，故矩阵A可相似对角化的充分必要条件为对应重根λ₂﹦λ₃﹦2有2个线性无关的特征向量，即方程(A－2E)x﹦0有2个线性无关的解，系数矩阵A－2E的秩r(A－2E)﹦1。 [*] 故r(A－2E)﹦1，所以矩阵A可相似对角化。本题考查矩阵的特征值与特征向量。题干已知矩阵的一个特征向量，根据特征值与特征向量的定义，可求得未知参数和特征值。n阶矩阵A可相似对角化的充分必要条件为A有n个线性无关的特征向量。

解析

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考研数学一

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