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  3. 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度 求随机变量Z＝X－2Y的概率密度fZ(z)．

设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度 求随机变量Z＝X－2Y的概率密度fZ(z)．

admin2019-01-24  36
问题 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度

求随机变量Z＝X－2Y的概率密度fZ(z)．
选项
答案法一 用分布函数法求解． 利用分布函数法求解的关键是能否准确画出图形(如图(a))，以便确定积分区域． [*] 从图中可看到f(x，y)取非零值的区域是一个三角形，直线方程x－2y＝z化为截距式方程[*]时，z取4个区间①z＜－2；②－2≤z＜－1；③－1≤z＜0；④z≥0中的值时，做4条平行线，直线上方与三角形的公共部分便是积分区域． [*] ①当z＜－2时，FZ(z)＝0； ②当－2≤z＜－1时， [*] ③当－1≤z＜0时， [*] ④当2≥0时，FZ(z)＝P(Ω)＝1． 因此 [*] 于是所求的概率密度为 [*] 法二 用公式法求解． 一般地，Z＝aX＋bY(a，b≠0)的概率密度为 [*] 本题中a＝1，b＝－2，代入上式可得 [*] 此时也可利用图形来确定函数取非零值的区域，由下列不等式 [*] 画出图形(如图(b))． [*] 从图中可看到f(z＋2y，y)取非零值的区域是由三条直线z＝－2y，z＝－y，y＝1围成，因此要通过z所取4个区间内的值来确定关于y的积分限． 当z＜－2或z≥0时，fZ(z)＝0； 当－2≤z＜－l时， [*] 当－1≤z＜0时， [*] 于是所求的概率密度为 [*]
解析
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考研数学一

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