求曲线y=的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0，x=2所围成的图形的面积最小．

admin2016-11-03 43

问题求曲线y=

的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0，x=2所围成的图形的面积最小．

选项

答案设切点为C(t，[*])，则过此点切线l的方程为 y一[*]，其中切线l的斜率为y′=[*]，将x=2和x=0代入切线l的方程，即得B(2，[*])． [*] 故所围面积S=S_梯形OABD－S_{曲边梯形OAEC}=[*] 令S′(t)=0，即[*]=0，得到t=1．又S″(t)｜_t=1=[*]＞0，故t=1时S取最小值，此时l的方程为y=[*]

解析先绘出有关图形，如下图所示．由图可看出所求平面图形的面积S=S_梯形OABD—S_{曲边梯形OAEC}．

下面分别求出这两个面积的值及S的最小值．

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