设a1，a2，…，at为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+a1，β+a2，…，β+at线性无关．

admin2013-08-30 32

问题设a₁，a₂，…，a_t为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+a₁，β+a₂，…，β+a_t线性无关．

选项

答案设β，a₁，a₂，…，a_t线性相关，令λβ+λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_ta_t=0，因为a₁，a₂，…，a_t为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，因此A(λβ+λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_ta_t)=λ(Aβ)，因为Aβ≠0，所以λ=0，因此β，a₁，a₂，…，a_t线性无关，令kβ+k₁(β+a₁)+k₂(β+a₂)+…+k_t(β+a_t)=0，即(k+k₁+…+k_t)β+k₁a₁+…+k_ta_t=0， ∵β，a₁，a₂，…，a_t线性无关，[*] ∴β，β+a₁，β+a₂，…，β+a_t线性无关．

解析

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考研数学一

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