设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数． (1)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积． (2)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且

admin2016-01-15 73

问题设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数．
(1)试证存在x₀∈(0，1)，使得在区间[0，x₀]上以f(x₀)为高的矩形面积，等于在区间[x₀，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积．
(2)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且f’(x)＞

，证明(1)中的x₀是唯一的．

选项

答案(1)本题可转化为证明x₀f(x₀)=[*]f(x)dx．令φ(x)=一x∫_x¹f(t)dt，则φ(x)在闭区间[0，1]上是连续的，在开区间(0，1)上是可导的，又因为φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理可知，存在x₀∈(0，1)，使得φ’(x₀)=0，即 [*] F’(x)=xf’(x)*f(x)+f(x)=2f(x)+xf’(x)＞0．即F(x)在(0，1)内是严格单调递增的，从而F(x)=0的点x=x₀一定唯一，因此(1)中的点是唯一的．

解析

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考研数学一

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设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数． (1)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积． (2)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且

考研数学一

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