设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数. (1)试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积. (2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且

admin2016-01-15  35

问题 设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.
    (1)试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积.
    (2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f’(x)>,证明(1)中的x0是唯一的.

选项

答案(1)本题可转化为证明x0f(x0)=[*]f(x)dx.令φ(x)=一x∫x1f(t)dt,则φ(x)在闭区间[0,1]上是连续的,在开区间(0,1)上是可导的,又因为φ(0)=φ(1)=0,根据罗尔定理可知,存在x0∈(0,1),使得φ’(x0)=0,即 [*] F’(x)=xf’(x)*f(x)+f(x)=2f(x)+xf’(x)>0. 即F(x)在(0,1)内是严格单调递增的,从而F(x)=0的点x=x0一定唯一,因此(1)中的点是唯一的.

解析
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