设A为m×n矩阵,r(A)=n,则下列结论不正确的是( )

admin2021-05-19  28

问题 设A为m×n矩阵,r(A)=n,则下列结论不正确的是(    )

选项 A、若AB=0,则B=0
B、对任意矩阵B,总有r(AB)=r(B)
C、存在B,使BA=E
D、对任意矩阵B,总有r(BA)=r(B)

答案D

解析 对于选项A,因为AB=0,所以r(A)+r(B)≤n,又r(A)=n,所以r(B)=0,所以B=0.排除.
    对于选项B,因为A为m×n矩阵,r(A)=n,所以A为列满秩矩阵,于是存在m阶可逆矩阵P,n阶矩阵Q,使PAQ=
    所以A=
    所以r(AB)==r(Q-1B)=r(B)排除.
    对于选项C,由于A=P-1Q-1,取B=Q(En 0)P,则有
    BA=Q(En0)PP-1Q-1=E.
    故排除C.
    故选D.
    事实上,若取A=(1,-2,1)T,B=(1,1,1),则r(A)=1,r(BA)=0≠r(B)=1.
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