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设A为m×n矩阵,r(A)=n,则下列结论不正确的是( )
设A为m×n矩阵,r(A)=n,则下列结论不正确的是( )
admin
2021-05-19
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问题
设A为m×n矩阵,r(A)=n,则下列结论不正确的是( )
选项
A、若AB=0,则B=0
B、对任意矩阵B,总有r(AB)=r(B)
C、存在B,使BA=E
D、对任意矩阵B,总有r(BA)=r(B)
答案
D
解析
对于选项A,因为AB=0,所以r(A)+r(B)≤n,又r(A)=n,所以r(B)=0,所以B=0.排除.
对于选项B,因为A为m×n矩阵,r(A)=n,所以A为列满秩矩阵,于是存在m阶可逆矩阵P,n阶矩阵Q,使PAQ=
,
所以A=
所以r(AB)=
=r(Q
-1
B)=r(B)排除.
对于选项C,由于A=P
-1
Q
-1
,取B=Q(E
n
0)P,则有
BA=Q(E
n
0)PP
-1
Q
-1
=E.
故排除C.
故选D.
事实上,若取A=(1,-2,1)
T
,B=(1,1,1),则r(A)=1,r(BA)=0≠r(B)=1.
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