设A为m×n矩阵，r(A)＝n，则下列结论不正确的是( )

admin2021-05-19 40

问题设A为m×n矩阵，r(A)＝n，则下列结论不正确的是( )

选项 A、若AB＝0，则B＝0
B、对任意矩阵B，总有r(AB)＝r(B)
C、存在B，使BA＝E
D、对任意矩阵B，总有r(BA)＝r(B)

答案D

解析对于选项A，因为AB＝0，所以r(A)＋r(B)≤n，又r(A)＝n，所以r(B)＝0，所以B＝0．排除．
对于选项B，因为A为m×n矩阵，r(A)＝n，所以A为列满秩矩阵，于是存在m阶可逆矩阵P，n阶矩阵Q，使PAQ＝

，
所以A＝

所以r(AB)＝

＝r(Q^-1B)＝r(B)排除．
对于选项C，由于A＝P^-1

Q^-1，取B＝Q(E_n

0)P，则有
BA＝Q(E_n

0)PP^-1

Q^-1＝E．
故排除C．
故选D．
事实上，若取A＝(1，－2，1)^T，B＝(1，1，1)，则r(A)＝1，r(BA)＝0≠r(B)＝1．

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考研数学二

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