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设齐次线性方程组(2E-A)χ=0有通解χ=kξ=k(-1,1,1)T,k是任意常数,其中A是二次型f(χ1,χ2,χ3)=χTAχ对应的矩阵,且r(A)=1. (I)求方程组Aχ=0的通解. (Ⅱ)求二次型f(χ1,χ2,χ3).
设齐次线性方程组(2E-A)χ=0有通解χ=kξ=k(-1,1,1)T,k是任意常数,其中A是二次型f(χ1,χ2,χ3)=χTAχ对应的矩阵,且r(A)=1. (I)求方程组Aχ=0的通解. (Ⅱ)求二次型f(χ1,χ2,χ3).
admin
2019-08-11
109
问题
设齐次线性方程组(2E-A)χ=0有通解χ=kξ=k(-1,1,1)
T
,k是任意常数,其中A是二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=χ
T
Aχ对应的矩阵,且r(A)=1.
(I)求方程组Aχ=0的通解.
(Ⅱ)求二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
).
选项
答案
(Ⅰ)A是二次型的对应矩阵,故A
T
=A,由(2E-A)χ=0有通解χ=Kξ
1
=k(-1,1,1)
T
,知A有特征值λ
1
=2,且A的对应于λ
1
=2的线性无关的特征向量为ξ
1
=(-1,1,1)
T
. 由于r(A)=1,故知λ=0是A的二重特征值.Aχ=0的非零解向量即是A的对应于λ=0的特征向量. 设λ
2
=λ
3
=0所对应的特征向量为ξ=(χ
1
,χ
2
,χ
3
)
T
,由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交,故ξ与ξ
1
相互正交. 由ξ
1
T
ξ=-χ
1
+χ
2
+χ
3
=0,解得ξ
2
=(1,1,0)
T
,ξ
3
=(1,0,1)
T
. 故方程组Aχ=0的通解为k
2
ξ
2
+k
3
ξ
3
,k
2
,k
3
为任意常数. (Ⅱ)求二次型即是求其对应矩阵. P=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=[*]为可逆矩阵,且P
-1
=[*] 则[*] 故二次型为f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=[*]
解析
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0
考研数学二
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