设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=一aE+ATA是正定阵，则a的取值范围是_________。

admin2019-08-11 41

问题设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=一aE+A^TA是正定阵，则a的取值范围是_________。

选项

答案a＜0

解析 B^T=(一aE+A^TA)^T=一aE+A^TA=B，故B是一个对称矩阵。
B正定的充要条件是对于任意给定的x≠0，都有
x^TBx=x^T(一aE+A^TA)x
=一ax^Tx+x^TA^TAx
=一ax^Tx+(Ax)^TAx＞0，
其中(Ax)^T(AX)≥0，x^Tx＞0，因此a的取值范围是一a＞0，即a＜0。

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