设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O．已知A的秩r(A)=2．当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

admin2019-12-26 26

问题设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A²+2A=O．已知A的秩r(A)=2．
当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

选项

答案【解法1】矩阵A+kE仍为实对称矩阵．由上题知，A+kE的全部特征值为－2+k，－2+k，k，于是，当k>2时矩阵A+kE的特征值均大于零．因此，当k>2时，矩阵A+kE为正定矩阵．【解法2】实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵P，使得 P^－1AP=Λ．A=PΛP^－1．于是 A+kE=PΛP^－1+kPP^-1=P(Λ+kE)P^－1．所以 A+kE～Λ+kE．而 [*] 若Λ+kE为正定矩阵，只需其顺序主子式大于0，即k需满足 k－2＞0，(k－2)²＞0，(k－2)²k＞0，因此，当k＞2时，矩阵Λ+kE为正定矩阵．

解析

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考研数学三

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设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O．已知A的秩r(A)=2．当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

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已知向量组α1＝(1，2，3，4)，α2＝(2，3，4，5)，α3＝(3，4，5，6)，α4＝(4，5，6，7)，则该向量组的秩为_______．

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