2. 考研
  3. 设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O．已知A的秩r(A)=2． 当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O．已知A的秩r(A)=2． 当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

admin2019-12-26  50
问题 设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O．已知A的秩r(A)=2．
当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．
选项
答案【解法1】矩阵A+kE仍为实对称矩阵．由上题知，A+kE的全部特征值为 －2+k，－2+k，k， 于是，当k>2时矩阵A+kE的特征值均大于零．因此，当k>2时，矩阵A+kE为正定矩阵． 【解法2】 实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵P，使得 P－1AP=Λ．A=PΛP－1． 于是 A+kE=PΛP－1+kPP-1=P(Λ+kE)P－1． 所以 A+kE～Λ+kE． 而 [*] 若Λ+kE为正定矩阵，只需其顺序主子式大于0，即k需满足 k－2＞0，(k－2)2＞0，(k－2)2k＞0， 因此，当k＞2时，矩阵Λ+kE为正定矩阵．
解析
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考研数学三

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