设A为3阶实对称矩阵,且满足条件A2+2A=O.已知A的秩r(A)=2. 当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.

admin2019-12-26  25

问题 设A为3阶实对称矩阵,且满足条件A2+2A=O.已知A的秩r(A)=2.
当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.

选项

答案【解法1】矩阵A+kE仍为实对称矩阵.由上题知,A+kE的全部特征值为 -2+k,-2+k,k, 于是,当k>2时矩阵A+kE的特征值均大于零.因此,当k>2时,矩阵A+kE为正定矩阵. 【解法2】 实对称矩阵必可对角化,故存在可逆矩阵P,使得 P-1AP=Λ.A=PΛP-1. 于是 A+kE=PΛP-1+kPP-1=P(Λ+kE)P-1. 所以 A+kE~Λ+kE. 而 [*] 若Λ+kE为正定矩阵,只需其顺序主子式大于0,即k需满足 k-2>0,(k-2)2>0,(k-2)2k>0, 因此,当k>2时,矩阵Λ+kE为正定矩阵.

解析
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