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求方程x=0.538sinx+1的根的近似值,精确到0.001.
求方程x=0.538sinx+1的根的近似值,精确到0.001.
admin
2022-11-23
16
问题
求方程x=0.538sinx+1的根的近似值,精确到0.001.
选项
答案
设f(x)=x-0.538sinx-1.∵f’(x)=1-0.538cosx>0,∴f(x)在(-∞,+∞)上严格增. 由于f(1)=-0.538sin1<0,f(2)=1-0.538sin2>0.∴实根在区间[1,2]内,在此区间上 f’(x)=1-0.538cosx>0,f”(x)=0.538sinx>0. 于是取x
0
=2,x
1
=[*]≈1.582. 现估计近似根x
1
的误差.|f’(x)|在[1.2]上的最小值为m=f’(1)≈0.707,而 f(x
1
)≈1.582-0.538×sin1.582-1≈0.044, 故 |x
1
-ξ|≤[*]≈0.062. 不满足精度要求,继续迭代, x
2
=1.582-[*]≈1.582-0.044=1.538. 由于f(x
2
)=0.538(1-sin1.538)≈0.0000538,所以 |x
2
-ξ|≤[*]≈0.000076<0.0001, 故取近似根ξ=1.538.
解析
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考研数学三
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