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设n阶矩阵A= (Ⅰ)求A的特征值和特征向量; (Ⅱ)求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.
设n阶矩阵A= (Ⅰ)求A的特征值和特征向量; (Ⅱ)求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.
admin
2021-10-08
35
问题
设n阶矩阵A=
(Ⅰ)求A的特征值和特征向量;
(Ⅱ)求可逆矩阵P,使得P
-1
AP为对角矩阵.
选项
答案
(Ⅰ)由题设,先由特征值多项式|A-λE|=0求A的特征值,即 [*] =[1-λ+(n-1)b](1-λ-b)
n-1
, 因此A的特征值为λ
1
=1+(n-1)b,λ
2
=λ
3
=…=λ
n
=1-b. 当b≠0时,对应于λ
1
=1+(n-1)b, [*] 不难求出ξ
1
=[*]是(A-λ
1
E)x=0的基础解系,从而属于λ
1
的特征向量为Cξ
n
= [*],其中C为任意非0常数。对应于λ
2
=λ
3
=…=λ
n
=1-b, A-(1-b)E=[*] 易得出基础解系为ξ
2
=[*] 从而特征向量为C
2
ξ
2
+C
3
ξ
3
+…+C
n
ξ
n
,其中C
2
,C
3
,…,C
n
是不全为0的常数. 当b=0时,A=[*]=E,从而A-E=0,任意非零向量皆为其特征向量. (Ⅱ)由前述已知,当b≠0,A有n个线性无关的特征向量,令P=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
,…,ξ
n
), 则P
-1
AP=[*] 而当b=0时,A=E,任取P为可逆矩阵,都有P
-1
AP=E.
解析
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