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  3. 设n阶矩阵A= (Ⅰ)求A的特征值和特征向量； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．

设n阶矩阵A= (Ⅰ)求A的特征值和特征向量； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．

admin2021-10-08  56
问题 设n阶矩阵A=
  (Ⅰ)求A的特征值和特征向量；
  (Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．
选项
答案(Ⅰ)由题设，先由特征值多项式｜A-λE｜=0求A的特征值，即 [*] =[1-λ+(n-1)b](1-λ-b)n-1， 因此A的特征值为λ1=1+(n-1)b，λ2=λ3=…=λn=1-b． 当b≠0时，对应于λ1=1+(n-1)b， [*] 不难求出ξ1=[*]是(A-λ1E)x=0的基础解系，从而属于λ1的特征向量为Cξn= [*]，其中C为任意非0常数。对应于λ2=λ3=…=λn=1-b， A-(1-b)E=[*] 易得出基础解系为ξ2=[*] 从而特征向量为C2ξ2+C3ξ3+…+Cnξn，其中C2，C3，…，Cn是不全为0的常数． 当b=0时，A=[*]=E，从而A-E=0，任意非零向量皆为其特征向量． (Ⅱ)由前述已知，当b≠0，A有n个线性无关的特征向量，令P=(ξ1，ξ2，ξ3，…，ξn)， 则P-1AP=[*] 而当b=0时，A=E，任取P为可逆矩阵，都有P-1AP=E．
解析
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考研数学二

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