设A=αβT，其中α和β都是n维列向量，证明对正整数k， Ak=(βTα)k-1A=(tr(A))k-1A． (tr(A)是A的对角线上元素之和，称为A的迹数．)

admin2019-08-12 51

问题设A=αβ^T，其中α和β都是n维列向量，证明对正整数k，
A^k=(β^Tα)^k-1A=(tr(A))^k-1A．
(tr(A)是A的对角线上元素之和，称为A的迹数．)

选项

答案A^k=(αβ^T)^k=αβ^Tαβ^T…αβ^Tαβ^T=α(β^Tα)(β^Tα)…(β^Tα)β^T=(β^Tα)^k-1A． βα^T=a₁b₁+a₂b₂+…+a₂b₂，而a₁b₁，a₂b₂，…，ab_nn正好的A=αβ^T的对角线上各元素，于是β^Tα=tr(A)， A^k=(tr(A))^k-1A．

解析

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考研数学二

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求
已知问λ取何值时，(1)β可由α1，α2，α3线性表出，且表达式唯一；(2)β可由α1，α2，α3线性表出，但表达式不唯一；(3)β不能由α1，α2，α3线性表出．
设D由抛物线y=x2，y=4x2及直线y=1所围成．用先x后y的顺序，将I=化成累次积分．
设A是n阶矩阵，α1,α2,α3是n维列向量，且α1≠0，Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα2=α1+α2，试证α1,α2,α3线性无关．
已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组AX=β的通解．
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设α1，α2，α3均为线性方程组Ax=b的解，下列向量中α1一α2，α1一2α2+α3，(α1一α3)，α1+3α2—4α3，是导出组Ax=0的解向量的个数为()
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设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，并且a＜1．1)试确定a的值，使S1+S2达到最小，并求出最小值．2)求该最小值对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积．

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