[2007年] 设f(x)是区间[0，π／4]上的单调可导函数，且满足 ∫0f(x)f-1(t)dt=∫0xtdt 其中f-1是f的反函数，求f(x)．

admin2019-05-10 89

问题 [2007年] 设f(x)是区间[0，π／4]上的单调可导函数，且满足
∫₀^f(x)f^-1(t)dt=∫₀^xt

dt
其中f^-1是f的反函数，求f(x)．

选项

答案在所给方程两边对x求导，利用f[f^-1(x)]=x，得到关于．f′的方程，求解此微分方程即可求出f(x)．在所给等式两边对x求导，得到 f^-1[f(x)]f′(x)=x[*]，即 xf′(x)=x[*]两边积分得到 f(x)=[*]=ln∣sinx+cosx∣+C， ① 其中x∈[0，π／4]．在原式中令x=0，得到∫₀^f(0)f^-1(t)dt=∫₀⁰t[*]dt=0．因f(x)在区间[0，π／4]上单调、可导，则f^-1(x)的值域为[0，π／4]，单调非负，故f(0)=0，代入式①可得C=0，故f(x)=ln∣cosx+sinx∣—ln(cosx+sinx)．

解析

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考研数学二

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[2007年] 设f(x)是区间[0，π／4]上的单调可导函数，且满足 ∫0f(x)f-1(t)dt=∫0xtdt 其中f-1是f的反函数，求f(x)．

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