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设向量组α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,判断向量组β,α1,α2,α3的线性相关性.
设向量组α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,判断向量组β,α1,α2,α3的线性相关性.
admin
2021-12-15
58
问题
设向量组α
1
,α
2
,α
3
是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,判断向量组β,α
1
,α
2
,α
3
的线性相关性.
选项
答案
设一组数k
0
,k
1
,k
2
,k
3
,使得 k
0
β+k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0, 左乘系数矩阵A,由于α
i
(i=1,2,3)为方程组Ax=0的解,有Aα
i
=0(i=1,2,3),β 不是方程组Ax=0的解,有Aβ≠0,于是有 k
0
Aβ+k
1
Aα
1
+k
2
Aα
2
+k
3
Aα
3
=k
0
Aβ=0, 得k
0
=0,从而有 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0, 又因为α
1
,α
2
,α
3
为Ax=0的基础解系,必线性无关,必有k
1
=k
2
=k
3
=0. 综上讨论,向量组β,α
1
,α
2
,α
3
线性无关.
解析
此题线性相关性的讨论涉及方程组解的性质.一般而言,如果α
1
,α
2
,…,α
n-r
是齐次方程组Ax=0的一个基础解系,β是非齐次方程组Ax=b的一个特解,则利用本题方法可以证明向量组β,β+α
1
,β+α
2
,…,β+α
n-r
必线性无关.结果表明,若n元非齐次方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r(<n),则方程组Ax=b共有n-r+1个无关解向量.
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经济类联考综合能力题库专业硕士分类
0
经济类联考综合能力
专业硕士
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