设向量组α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,判断向量组β,α1,α2,α3的线性相关性.

admin2021-12-15  32

问题 设向量组α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,判断向量组β,α1,α2,α3的线性相关性.

选项

答案设一组数k0,k1,k2,k3,使得 k0β+k1α1+k2α2+k3α3=0, 左乘系数矩阵A,由于αi(i=1,2,3)为方程组Ax=0的解,有Aαi=0(i=1,2,3),β 不是方程组Ax=0的解,有Aβ≠0,于是有 k0Aβ+k11+k22+k33=k0Aβ=0, 得k0=0,从而有 k1α1+k2α2+k3α3=0, 又因为α1,α2,α3为Ax=0的基础解系,必线性无关,必有k1=k2=k3=0. 综上讨论,向量组β,α1,α2,α3线性无关.

解析 此题线性相关性的讨论涉及方程组解的性质.一般而言,如果α1,α2,…,αn-r是齐次方程组Ax=0的一个基础解系,β是非齐次方程组Ax=b的一个特解,则利用本题方法可以证明向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αn-r必线性无关.结果表明,若n元非齐次方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r(<n),则方程组Ax=b共有n-r+1个无关解向量.
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