2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，3维列向量α，Aα，A2α线性无关，且满足3Aα一 2A2α一 A3α=0，令矩阵P=[α Aα A2α]． (1)求矩阵B，使AP=PB； (2)证明A相似于对角矩阵．

设A为3阶矩阵，3维列向量α，Aα，A2α线性无关，且满足3Aα一 2A2α一 A3α=0，令矩阵P=[α Aα A2α]． (1)求矩阵B，使AP=PB； (2)证明A相似于对角矩阵．

admin2019-03-21  55
问题 设A为3阶矩阵，3维列向量α，Aα，A2α线性无关，且满足3Aα一 2A2α一 A3α=0，令矩阵P=[α  Aα  A2α]．
(1)求矩阵B，使AP=PB；
(2)证明A相似于对角矩阵．
选项
答案(1) AP=A[α Aα A2α]=[Aα A2α A3α]=[Aα A2α 3Aα一2A2α] [*] (2)由(1)有AP=PB，因P可逆，得P一1AP=B，即A与B相似，易求出B的特征值为0，1，一3，故A的特征值亦为0，1，一3，A3×3有3个互不相同特征值，因此A相似于对角阵．
解析
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考研数学二

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