2. 考研
  3. 设f(χ)在[a，b]上有二阶导数，且f′(χ)＞0． (Ⅰ)证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使 ∫abf(χ)dχ＝f(b)(ξ－a)＋f(a)(b－ξ)； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的ξ∈(a，b)，求

设f(χ)在[a，b]上有二阶导数，且f′(χ)＞0． (Ⅰ)证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使 ∫abf(χ)dχ＝f(b)(ξ－a)＋f(a)(b－ξ)； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的ξ∈(a，b)，求

admin2022-10-09  52
问题 设f(χ)在[a，b]上有二阶导数，且f′(χ)＞0．
    (Ⅰ)证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使
    ∫abf(χ)dχ＝f(b)(ξ－a)＋f(a)(b－ξ)；
    (Ⅱ)对(Ⅰ)中的ξ∈(a，b)，求
选项
答案(Ⅰ)令φ(χ)＝f(b)(χ－a)＋f(a)(b－χ)－∫abf(χ)dχ(a≤χ≤b)， 即证φ(χ)在(a，b)[*]零点．因f(χ)在[a，b]连续且[*]f(a)＜f(χ)＜f(b)(χ∈(a，b))且f(a)(b－a)＜∫abf(χ)dχ＜f(b)(b－a) φ(a)＝f(a)(b－a)－∫abf(χ)dχ＜0， φ(b)＝f(b)(b－a)－∫abf(χ)dχ＞0， 故由闭区间上连续函数的性质知存在ξ∈(a，b)，使得φ(ξ)＝0，即 ∫abf(χ)dχ＝f(b)(ξ－a)＋f(a)(b－ξ)． (Ⅱ)先要得到[*]的表达式，为此先将上式改写成 ∫abf(χ)dχ＝f(b)(ξ－a)＋f(a)[(b－a)－(ξ－a)]， 从而[*] 于是将b看作变量，对右端分式应用洛必达法则即得 [*] 分子、分母同除b－a得 [*]
解析
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考研数学二

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