微分方程满足y(－2)＝0并且在定义的区间上可导的特解为y＝_，它的定义区间为___．

admin2019-01-24 48

问题微分方程

满足y(－2)＝0并且在定义的区间上可导的特解为y＝_______，它的定义区间为_________．

选项

答案[*]

解析原方程改写为

，令z＝e^－y，得

由一阶线性微分方程通解公式，得通解

以上的｜x｜来自ln｜x｜．而当x＝0时，原方程中x在分母上，原方程无定义，上面得到的解式中，x＝0处z也无定义，所以要求在区间上可导的特解，这个区间应该是不含x＝0在内但含x＝－2(初值处)在内．所以只要讨论x＜0处．于是

当x＝－2时，y＝0，以此初值代入，

，所求特解为

使y可导的区间为

该解存在导数的定义区间为

．
【注】本题设计为初值x＝－2处，实际上是考查学生当x＜0时计算

的能力与解不等式

的能力。

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考研数学一

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