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  3. 设f(x)有界，且f′(x)连续，对任意的x∈(-∞，+∞)有|f(x)+f′(x)|≤1.证明：|f(x)|≤1.

设f(x)有界，且f′(x)连续，对任意的x∈(-∞，+∞)有|f(x)+f′(x)|≤1.证明：|f(x)|≤1.

admin2022-08-19  59
问题 设f(x)有界，且f′(x)连续，对任意的x∈(-∞，+∞)有|f(x)+f′(x)|≤1.证明：|f(x)|≤1.
选项
答案令φ(x)=exf(x)，则φ′(x)=ex[f(x)+f′(x)]， 由|f(x)+f′(x)|≤1得|φ′(x)|≤ex，又由f(x)有界得φ(-∞)=0，则Ф(x)=φ(x)-φ(-∞)=∫-∞xφ′(x)dx，两边取绝对值得ex|f(x)|≤∫-∞x|φ′(x)|dx≤∫-∞xexdx=ex，所以|f(x)|≤1.
解析
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考研数学三

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