设f(x)有界，且f′(x)连续，对任意的x∈(-∞，+∞)有|f(x)+f′(x)|≤1.证明：|f(x)|≤1.

admin2022-08-19 22

问题设f(x)有界，且f′(x)连续，对任意的x∈(-∞，+∞)有|f(x)+f′(x)|≤1.证明：|f(x)|≤1.

选项

答案令φ(x)=e^xf(x)，则φ′(x)=e^x[f(x)+f′(x)]，由|f(x)+f′(x)|≤1得|φ′(x)|≤e^x，又由f(x)有界得φ(-∞)=0，则Ф(x)=φ(x)-φ(-∞)=∫_-∞^xφ′(x)dx，两边取绝对值得e^x|f(x)|≤∫_-∞^x|φ′(x)|dx≤∫_-∞^xe^xdx=e^x，所以|f(x)|≤1.

解析

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考研数学三

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