A是n阶矩阵，且A3=0，则( )．

admin2019-07-10 56

问题 A是n阶矩阵，且A³=0，则( )．

选项 A、A不可逆，B一A也不可逆
B、A可逆，E+A也可逆
C、A²一A+E与A²+A+E均可逆
D、A不可逆，且A²必为0

答案C

解析由｜A｜³=｜A｜³=0知A不可逆，而(E—A)(E+A+A²)=E—A³，(E+A)(E—A+A²)=E+A³知，E—A，E+A．E+A+A²，E一A+A²均可逆．由行列式性质｜A｜³=｜A³｜=0，可知A必不可逆，但从(E一A)(E+A+A²)=E—A³=E，(E+A)(E—A+A²)=E+A³=E，知E—A，E+A，层+A+A²，E—A+A²均可逆．当A³=0时，A²是否为0是不能确定的，例如：

A₁³=0，但A₁²≠0，A₂³=0，且A₂²=0，故选C．

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