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若A、B为两个n阶矩阵,且ABA=B-1,证明: 秩(E-AB)+秩(E+AB)=n.
若A、B为两个n阶矩阵,且ABA=B-1,证明: 秩(E-AB)+秩(E+AB)=n.
admin
2016-11-03
65
问题
若A、B为两个n阶矩阵,且ABA=B
-1
,证明:
秩(E-AB)+秩(E+AB)=n.
选项
答案
显然有 秩(E一AB)+秩(E+AB)≥秩(E—AB+E+AB)=秩(2E)=n. ① 另一方面,由ABA=B
-1
得到 (E一AB)(E+AB)=E一AB+AB—ABAB=E一(ABA)B =E一B
-1
B=E—E=0, 故 秩(E一AB)+秩(E+AB)≤n. ② 由式①与式②得到 秩(E—AB)+秩(E+AB)=n.
解析
只需证明
秩(E—AB)+秩(E+AB)≥n,
秩(E—AB)+秩(E+AB)≤n.
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考研数学一
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