设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系( )

admin2019-04-09 83

问题设n阶矩阵A的伴随矩阵A^*≠O，若ξ₁，ξ₂，ξ₃，ξ₄是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系( )

选项 A、不存在．
B、仅含一个非零解向量．
C、含有两个线性无关的解向量．
D、含有三个线性无关的解向量．

答案B

解析因为齐次线性方程组的基础解系所含线性无关的解向量的个数为n-r(A)．而由A^*≠O
可知，A^*中至少有一个非零元素，由伴随矩阵的定义可得矩阵A中至少有一个(n-1)阶子式不为零，再由矩阵秩的定义有r(A)≥n-1．又由Ax=b有互不相等的解知，其解存在且不唯一，故有r(A)＜n，从而r(A)=n-1．因此对应的齐次线性方程组的基础解系仅含一个非零解向量，故选B．

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考研数学三

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