设f(x)在区间(一∞,+∞)内连续,下述4个命题不正确的是 ( )

admin2018-03-30  39

问题 设f(x)在区间(一∞,+∞)内连续,下述4个命题不正确的是    (    )

选项 A、如果对于任意的常数a,总有∫-aaf(x)dx=0,则f(x)必是奇函数.
B、如果对于任意的常数a,总有∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx,则f(x)必是偶函数.
C、如果对于任意的常数a及某正常数w,总有∫aa+wf(x)dx与以无关,则f(x)有周期w.
D、如果存在某常数w>0,使∫0wf(x)dx=0,则∫0xf(t)dt有周期w.

答案D

解析 法一  证明(A),(B),(C)都正确.对于(A),将a看成变量,∫-aaf(x)dx=0两边分别对a求导数,有f(a)一[一f(一a)]=0,f(a)=一f(一a).由a的任意性,故知f(x)为奇函数.A正确.
类似可证(B)也正确.对于(C),设对任意a,∫aa+wf(x)dx与a无关,于是(∫aa+wf(x)dx)’a=f(a+w)一f(a)=0,即对任意a,f(a+w)=f(a)成立.即f(x+w)=f(x),所以f(x)具有周期w.(C)正确.(A),(B),(C)都正确,根据排除法,选D.
法二  举例说明存在某w>0,有∫0wf(x)dx=0,但∫0x(t)dt不具有周期叫.如:f(x)=1一x,
02f(x)dx=∫02(1一x)dx=(x—)|02=0,但f(t)dt=x一不是周期函数.
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