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设f(x)在区间(一∞,+∞)内连续,下述4个命题不正确的是 ( )
设f(x)在区间(一∞,+∞)内连续,下述4个命题不正确的是 ( )
admin
2018-03-30
61
问题
设f(x)在区间(一∞,+∞)内连续,下述4个命题不正确的是 ( )
选项
A、如果对于任意的常数a,总有∫
-a
a
f(x)dx=0,则f(x)必是奇函数.
B、如果对于任意的常数a,总有∫
-a
a
f(x)dx=2∫
0
a
f(x)dx,则f(x)必是偶函数.
C、如果对于任意的常数a及某正常数w,总有∫
a
a+w
f(x)dx与以无关,则f(x)有周期w.
D、如果存在某常数w>0,使∫
0
w
f(x)dx=0,则∫
0
x
f(t)dt有周期w.
答案
D
解析
法一 证明(A),(B),(C)都正确.对于(A),将a看成变量,∫
-a
a
f(x)dx=0两边分别对a求导数,有f(a)一[一f(一a)]=0,f(a)=一f(一a).由a的任意性,故知f(x)为奇函数.A正确.
类似可证(B)也正确.对于(C),设对任意a,∫
a
a+w
f(x)dx与a无关,于是(∫
a
a+w
f(x)dx)’
a
=f(a+w)一f(a)=0,即对任意a,f(a+w)=f(a)成立.即f(x+w)=f(x),所以f(x)具有周期w.(C)正确.(A),(B),(C)都正确,根据排除法,选D.
法二 举例说明存在某w>0,有∫
0
w
f(x)dx=0,但∫
0
x
(t)dt不具有周期叫.如:f(x)=1一x,
∫
0
2
f(x)dx=∫
0
2
(1一x)dx=(x—
)|
0
2
=0,但f(t)dt=x一
不是周期函数.
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考研数学三
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