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证明黎曼函数 在[0，1]上可积，且∫01f(x)dx=0．

admin2022-11-23  26
问题 证明黎曼函数
   
    在[0，1]上可积，且∫01f(x)dx=0．
选项
答案证法一 任给ε＞0．在[0，1]内使得[*]的有理点p／q只有有限个，设它们为r1，…，rk．现对[0，1]作分割T={△1，△2，…，△n}，使‖T‖＜ε／2k，并把T中所有小区间分为{△i’｜i=1，2，…，m}和{△i”｜i=1，2，…，n-m}两类．其中{△i’}为含有{ri｜i=1，2，…，k}中点的所有小区间，这类小区间的个数m≤2k(当所有ri恰好都是T的分割点时才有m=2k)：而{△”i}为T中所有其余不含{ri}中点的小区间．由于f在△i’上的振幅ωi’≤1／2．于是 [*] 而f在△i”的振幅ωi”≤ε／2，于是 [*] 把这两部分合起来，便证得 [*] 即f在[0，1]上可积． 由于已经证得f在[0，1]上可积，所有当取ξi全为无理点时．使f(ξi)=0，从而 [*] 证法二 任给ε＞0，η＞0．由于满足1／q≥ε，即q≤1／ε的有理点p／q只有有限个(设为k个)，因此含有这类点的小区间至多2k个．在其上ωk’≥ε．当‖T‖＜η／2k时，就能保证这些小区间的总长满足[*]△xk’≤2k‖T‖＜η，所以f在[0，1]上可积．因为mi=[*]f(x)=0，i=1，2，…，n，所以s(T)=0，从而∫01f(x)dx=s=0．
解析
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考研数学一

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