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证明黎曼函数 在[0,1]上可积,且∫01f(x)dx=0.
证明黎曼函数 在[0,1]上可积,且∫01f(x)dx=0.
admin
2022-11-23
24
问题
证明黎曼函数
在[0,1]上可积,且∫
0
1
f(x)dx=0.
选项
答案
证法一 任给ε>0.在[0,1]内使得[*]的有理点p/q只有有限个,设它们为r
1
,…,r
k
.现对[0,1]作分割T={△
1
,△
2
,…,△
n
},使‖T‖<ε/2k,并把T中所有小区间分为{△
i
’|i=1,2,…,m}和{△
i
”|i=1,2,…,n-m}两类.其中{△
i
’}为含有{r
i
|i=1,2,…,k}中点的所有小区间,这类小区间的个数m≤2k(当所有r
i
恰好都是T的分割点时才有m=2k):而{△”i}为T中所有其余不含{r
i
}中点的小区间.由于f在△
i
’上的振幅ω
i
’≤1/2.于是 [*] 而f在△
i
”的振幅ω
i
”≤ε/2,于是 [*] 把这两部分合起来,便证得 [*] 即f在[0,1]上可积. 由于已经证得f在[0,1]上可积,所有当取ξ
i
全为无理点时.使f(ξ
i
)=0,从而 [*] 证法二 任给ε>0,η>0.由于满足1/q≥ε,即q≤1/ε的有理点p/q只有有限个(设为k个),因此含有这类点的小区间至多2k个.在其上ω
k’
≥ε.当‖T‖<η/2k时,就能保证这些小区间的总长满足[*]△x
k’
≤2k‖T‖<η,所以f在[0,1]上可积.因为m
i
=[*]f(x)=0,i=1,2,…,n,所以s(T)=0,从而∫
0
1
f(x)dx=s=0.
解析
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0
考研数学一
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