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在球面x2+y2+z2=5R2(x>0,y>0,z>0)上,求函数f(x,y,z)=ln x+ln y+3ln z的最大值,并利用所得结果证明不等式abc2≤27()5(a>0,b>0,c>0).
在球面x2+y2+z2=5R2(x>0,y>0,z>0)上,求函数f(x,y,z)=ln x+ln y+3ln z的最大值,并利用所得结果证明不等式abc2≤27()5(a>0,b>0,c>0).
admin
2019-02-23
55
问题
在球面x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
(x>0,y>0,z>0)上,求函数f(x,y,z)=ln x+ln y+3ln z的最大值,并利用所得结果证明不等式abc
2
≤27(
)
5
(a>0,b>0,c>0).
选项
答案
作拉格朗日函数 L(x,y,z,λ)=ln x+ln y+3ln z+λ(x
2
+y
2
+z
2
一5R
2
), 并令 [*] 由①,②,③式得x
2
=y
2
=[*],因xyzs在有界闭集x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
(x≥0,y≥0,z≥0)上必有最大值,且最大值必在x>0,y>0,z>0取得,故f=ln xyz
3
在x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
也有最大值,而[*],故x
2
y
2
z
6
≤27R
10
. 令x
2
=a,y
2
=b,z
2
=c,又知x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
,则abc
2
≤27([*])
5
(a>0,6>0,c>0).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Elj4777K
0
考研数学二
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