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设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0.证明:方程f’’(x)-f(x)=0在(0,1)内有根.
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0.证明:方程f’’(x)-f(x)=0在(0,1)内有根.
admin
2016-09-12
53
问题
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0.证明:方程f’’(x)-f(x)=0在(0,1)内有根.
选项
答案
令φ(x)=e
-x
[f(x)+f’(x)]. 因为φ(0)=φ(1)=0,所以由罗尔定理,存在c∈(0,1)使得φ’(c)=0, 而φ’(x)=e
-x
[f’’(x)-f(x)]且e
-x
≠0,所以方程f’’(c)-f(c)=0在(0,1)内有根.
解析
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考研数学二
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