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(2004年试题,三)设有齐次线性方程组试问a取何值时该方程组有非零解,并求出其通解.
(2004年试题,三)设有齐次线性方程组试问a取何值时该方程组有非零解,并求出其通解.
admin
2019-05-16
76
问题
(2004年试题,三)设有齐次线性方程组
试问a取何值时该方程组有非零解,并求出其通解.
选项
答案
对系数矩阵A进行初等行变换可得[*]当a=0时,rA=1
1+x
2
+…+x
n
=0不难求得其基础解系为[*]所以原方程组通解为x=C
1
ξ
1
+C
2
ξ
2
+…+C
n-1
ξ
n-1
,其中C
1
,C
2
,…,C
n-1
是任意常数.当a≠0时,系数矩阵A可由初等行变换化为[*]由已知原方程组有非零解,则[*]此时rA=n一1
T,从而原方程组通解为x=Cξ,其中C为任意常数.解析二由已知原方程组有非零解,则系数行列式|A|=0,即[*]从而a=0或[*]以下分别采用与解析一中相同的初等行变换,可求得相应基础解系,从而得出通解.
解析
矩阵A的行列式|A|可以用特征值之积得到,即
因为矩阵B的特征值为
故而矩阵A的特征值为a,a,…,a,a+
从而行列式
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考研数学一
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