首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f’(x)<1(x∈(0,1)),求证: [∫01f(x)dx]2>∫01f3(x)dx.
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f’(x)<1(x∈(0,1)),求证: [∫01f(x)dx]2>∫01f3(x)dx.
admin
2017-10-23
49
问题
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f’(x)<1(x∈(0,1)),求证:
[∫
0
1
f(x)dx]
2
>∫
0
1
f
3
(x)dx.
选项
答案
即证[∫
0
1
f(x)dx]
2
一∫
0
1
f
3
(x)dx>0.考察F(x)=[∫
0
x
f(t)dt]
2
—∫
0
x
f
3
(t)dt, 若能证明F(x)>0(x∈(0,1])即可.这可用单调性方法. 令F(x)=[∫
0
x
f(t)dt]
2
一∫
0
x
f
3
(t)dt,易知F(x)在[0,1]可导,且 F(0)=0,F’(x)=f(x)[2∫
0
x
f(t)dt一f
2
(x)]. 由题设知f(x)在[0,1]单调上升,故f(x)>f(0)=0(x∈(0,1]),从而F’(x)与g(x)=2∫
0
x
f(t)dt一f
2
(x)同号.计算可得 g’(x)=2f(x)[1一f’(x)]>0(x∈(0,1)), 结合g(x)在[0,1]连续,于是g(x)在[0,1]单调上升,故g(x)>g(0)=0(x∈(0,1]),也就有F’(x)>0(x∈(0,1]),即F(x)在[0,1]单调上升,F(x)>F(0)=0(x∈(0,1]).因此 F(1)=[∫
0
1
f(x)dx]
2
一∫
0
1
f
3
(x)dx>0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/EsX4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设f(x)二阶连续可导,f’(0)=0,且,则().
设f(x)在[0,1]上二阶连续可导且f(0)=f(1),又|f"(x)|≤M,证明:|f"(x)|≤.
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)f(b)>0,f(a)f()<0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=f(ξ).
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(a>0),证明:存在ξ∈(a,b),使得
设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,且f(a)=g(b)=0,g’(x)<0,试证明存在ξ∈(a,b)使
计算=,其中D={(x,y)|x2+y2≤1,x≥0,y≥0}.
求,其中D:x2+y2≤π2.
设f(x,y)=,其中D={(x,y)|a≤x+y≤b)(0<a<b).
设f(x)连续,证明:
随机试题
感染过程中,血液中最先出现的是()
自主神经系统的功能特点是
消毒的含义是
厌氧菌感染伤口换药选用
选择围堰类型时,必须根据当时当地具体条件,主要原则有()。
用经常性预算收入来偿还到期国债的本息,其实质相当于()。
配制黑火药用的原料是火硝、硫磺和木炭。火硝的质量是硫磺和木炭的3倍,硫磺占原料总量的1/10,要配制这种黑火药320千克,需要木炭多少千克?
按表中数据计算可知,1996年该省房地产业增加值为()。
ThankyouforyourinquiryofOctober1st.Wearenowsendingyouourcatalogtogetherwithsomesamplesofthematerialsyoure
【B1】【B10】
最新回复
(
0
)