2. 考研
  3. 设向量组B：b1…，r，能由向量组A：a1…，ar线性表示为(b1…，br)=(a1…，ar)K，其中K为s×r矩阵，且向量组A线性无关．证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r．

设向量组B：b1…，r，能由向量组A：a1…，ar线性表示为(b1…，br)=(a1…，ar)K，其中K为s×r矩阵，且向量组A线性无关．证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r．

admin2019-05-11  55
问题 设向量组B：b1…，r，能由向量组A：a1…，ar线性表示为(b1…，br)=(a1…，ar)K，其中K为s×r矩阵，且向量组A线性无关．证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r．
选项
答案必要性：令B=(b1…，br)，A=(as…，as)，则有B=AK，由定理r(B)=r(AK)≤min{r(A)，r(K)}，结合向量组B：b1，b2，…，br线性无关知r(B)=r，故r(K)≥r．又因为K为r×s阶矩阵，则有r(K)≤min{r，s}．且由向量组B：b1，b2，…，br能由向量组A：a1，a2，…，as线性表示，有r≤S，即min{r，s}=r．综上所述，r≤r(K)≤r，即r(K)=r．充分性：已知r(K)=r，向量组A线性无关，r(A)=s，因此A的行最简矩阵为[*]，存在可逆矩阵P使[*]于是有[*]由矩阵秩的性质[*]即r(B)=r(K)=r，因此向量组B线性无关．
解析
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考研数学二

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