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设向量组B:b1…,r,能由向量组A:a1…,ar线性表示为(b1…,br)=(a1…,ar)K,其中K为s×r矩阵,且向量组A线性无关.证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r.
设向量组B:b1…,r,能由向量组A:a1…,ar线性表示为(b1…,br)=(a1…,ar)K,其中K为s×r矩阵,且向量组A线性无关.证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r.
admin
2019-05-11
52
问题
设向量组B:b
1
…,
r
,能由向量组A:a
1
…,a
r
线性表示为(b
1
…,b
r
)=(a
1
…,a
r
)K,其中K为s×r矩阵,且向量组A线性无关.证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r.
选项
答案
必要性:令B=(b
1
…,b
r
),A=(a
s
…,a
s
),则有B=AK,由定理r(B)=r(AK)≤min{r(A),r(K)},结合向量组B:b
1
,b
2
,…,b
r
线性无关知r(B)=r,故r(K)≥r.又因为K为r×s阶矩阵,则有r(K)≤min{r,s}.且由向量组B:b
1
,b
2
,…,b
r
能由向量组A:a
1
,a
2
,…,a
s
线性表示,有r≤S,即min{r,s}=r.综上所述,r≤r(K)≤r,即r(K)=r.充分性:已知r(K)=r,向量组A线性无关,r(A)=s,因此A的行最简矩阵为[*],存在可逆矩阵P使[*]于是有[*]由矩阵秩的性质[*]即r(B)=r(K)=r,因此向量组B线性无关.
解析
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考研数学二
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