设向量组B：b1…，r，能由向量组A：a1…，ar线性表示为(b1…，br)=(a1…，ar)K，其中K为s×r矩阵，且向量组A线性无关．证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r．

admin2019-05-11 68

问题设向量组B：b₁…，_r，能由向量组A：a₁…，a_r线性表示为(b₁…，b_r)=(a₁…，a_r)K，其中K为s×r矩阵，且向量组A线性无关．证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r．

选项

答案必要性：令B=(b₁…，b_r)，A=(a_s…，a_s)，则有B=AK，由定理r(B)=r(AK)≤min{r(A)，r(K)}，结合向量组B：b₁，b₂，…，b_r线性无关知r(B)=r，故r(K)≥r．又因为K为r×s阶矩阵，则有r(K)≤min{r，s}．且由向量组B：b₁，b₂，…，b_r能由向量组A：a₁，a₂，…，a_s线性表示，有r≤S，即min{r，s}=r．综上所述，r≤r(K)≤r，即r(K)=r．充分性：已知r(K)=r，向量组A线性无关，r(A)=s，因此A的行最简矩阵为[*]，存在可逆矩阵P使[*]于是有[*]由矩阵秩的性质[*]即r(B)=r(K)=r，因此向量组B线性无关．

解析

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考研数学二

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设向量组B：b1…，r，能由向量组A：a1…，ar线性表示为(b1…，br)=(a1…，ar)K，其中K为s×r矩阵，且向量组A线性无关．证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r．

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