已知f〞(x)＜0，f(0)＝0，试证：对任意的两正数x1和x2，恒有f(x1＋x2)＜f(x1)＋f(x2)成立．

admin2012-06-04 79

问题已知f〞(x)＜0，f(0)＝0，试证：对任意的两正数x₁和x₂，恒有f(x₁＋x₂)＜f(x₁)＋f(x₂)成立．

选项

答案令F(x)＝f(x＋x²)－f(x)－f(x₂)，则Fˊ(x)＝fˊ(x＋x²)－fˊ(x)＝xf〞(x＋θx₂)＜0 (0＜θ＜1)．可见，F(x)单调减少，又x₁＞0，故F(x₁)＜F(0)，即f(x₁＋x₂)－f(x₁)－f(x₂)＜0 也即f(x₁＋x₂)＜f(x₁)＋f(x₂)．

解析

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考研数学一

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