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设λ1,λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值,x1,x2分别是属于λ1,λ2的特征向量.证明:x1+x2不是A的特征向量.
设λ1,λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值,x1,x2分别是属于λ1,λ2的特征向量.证明:x1+x2不是A的特征向量.
admin
2018-08-02
52
问题
设λ
1
,λ
2
是n阶矩阵A的两个不同特征值,x
1
,x
2
分别是属于λ
1
,λ
2
的特征向量.证明:x
1
+x
2
不是A的特征向量.
选项
答案
用反证法:若x
1
+x
2
是A的属于特征值λ
0
的特征向量.则有A(x
1
+x
2
)=λ
0
(x
1
+x
2
),即Ax
1
+Ax
2
=λ
0
x
1
+λ
0
x
2
,因Ax
i
=Aλ
i
x
i
(i=1,2),得(λ
1
-λ
0
)x
1
+(λ
2
-λ
0
)x
2
=0,由于属于不同特征值的特征向量x
1
与x
2
线性无关,得λ
1
-λ
0
=0=λ
2
,λ
0
,[*]λ
1
-λ
2
,这与λ
1
≠λ
2
发生矛盾.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/F1j4777K
0
考研数学二
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