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设λ1，λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：x1+x2不是A的特征向量．
设λ1，λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：x1+x2不是A的特征向量．
admin
2018-08-02
47
问题
设λ
1
，λ
2
是n阶矩阵A的两个不同特征值，x
1
，x
2
分别是属于λ
1
，λ
2
的特征向量．证明：x
1
+x
2
不是A的特征向量．
选项
答案
用反证法：若x
1
+x
2
是A的属于特征值λ
0
的特征向量．则有A(x
1
+x
2
)=λ
0
(x
1
+x
2
)，即Ax
1
+Ax
2
=λ
0
x
1
+λ
0
x
2
，因Ax
i
=Aλ
i
x
i
(i=1，2)，得(λ
1
-λ
0
)x
1
+(λ
2
-λ
0
)x
2
=0，由于属于不同特征值的特征向量x
1
与x
2
线性无关，得λ
1
-λ
0
=0=λ
2
，λ
0
，[*]λ
1
-λ
2
，这与λ
1
≠λ
2
发生矛盾．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/F1j4777K
0
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