设b＞a＞0，证明不等式

admin2018-04-14 89

问题设b＞a＞0，证明不等式

选项

答案方法一：(1)先证右边不等式，即[*] 设φ(x)=lnx－lna－[*](x＞a＞0)，因为 [*] 故当x＞a时，φ(x)单调减少，又φ(a)=0，所以，当x＞a时，φ(x)＜φ(a)=0，即 [*] 从而当b＞a＞0时，有 [*] (2)再证左边不等式，即[*] 设函数f(x)=lnx(x＞a＞0)，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点ξ∈(a，b)使 [*] 由于0＜a＜ξ＜b，故1／ξ＞1／b＞2a／(a²+b²)，从而[*] 方法二：右边的不等式证明同方法一，下面证左边的不等式。设f(x)=(x²+a²)(lnx－lna)－2a(x－a)(x＞a＞0)，因为 f’(x)=2x(lnx－lna)+(x²+a²)[*]－2a=2x(lnx－lna)+[*]＞0，故当x＞a时，f(x)单调增加，又f(a)=0，所以当x＞a时，f(x)＞f(a)=0，即 (x²+a²)(lnx－lna)－2a(x－a)＞0。从而当b＞a＞0时，有(a²+b²)(lnb－lna)－2a(b－a)＞0，即[*]

解析

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考研数学二

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