设b>a>0,证明不等式

admin2018-04-14  37

问题 设b>a>0,证明不等式

选项

答案方法一:(1)先证右边不等式,即[*] 设φ(x)=lnx-lna-[*](x>a>0),因为 [*] 故当x>a时,φ(x)单调减少,又φ(a)=0,所以,当x>a时,φ(x)<φ(a)=0,即 [*] 从而当b>a>0时,有 [*] (2)再证左边不等式,即[*] 设函数f(x)=lnx(x>a>0),由拉格朗日中值定理知,至少存在一点ξ∈(a,b)使 [*] 由于0<a<ξ<b,故1/ξ>1/b>2a/(a2+b2),从而[*] 方法二:右边的不等式证明同方法一,下面证左边的不等式。 设f(x)=(x2+a2)(lnx-lna)-2a(x-a)(x>a>0),因为 f’(x)=2x(lnx-lna)+(x2+a2)[*]-2a=2x(lnx-lna)+[*]>0, 故当x>a时,f(x)单调增加,又f(a)=0,所以当x>a时,f(x)>f(a)=0,即 (x2+a2)(lnx-lna)-2a(x-a)>0。 从而当b>a>0时,有(a2+b2)(lnb-lna)-2a(b-a)>0,即[*]

解析
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