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已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解. (1)证明:方程组的系数矩阵A的秩r(A)=2. (2)求a,b的值及方程组的通解.
已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解. (1)证明:方程组的系数矩阵A的秩r(A)=2. (2)求a,b的值及方程组的通解.
admin
2017-07-26
29
问题
已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解.
(1)证明:方程组的系数矩阵A的秩r(A)=2.
(2)求a,b的值及方程组的通解.
选项
答案
(1)设α
1
,α
2
,α
3
是方程组Ax=β的3个线性无关的解,其中 [*] 则有A(α
1
—α
2
)=0,A(α
1
—α
3
)=0. 则α
1
—α
2
,α
1
—α
3
是对应齐次线性方程组Ax=0的解,且线性无关.(否则,易推出α
1
,α
2
,α
3
线性相关,矛盾) 所以n一r(A)≥2,即4一r(A)≥2→r(A)≤2. 又矩阵A中有一个2阶子式[*]≠0,所以r(A)≥2. 因此r(A)=2. (2)因为 [*]
解析
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考研数学三
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