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设二次型f(χ1,χ2,χ3)=χ12+aχ22+χ32+2χ1χ2-2χ2χ3-2aχ1χ3的正、负惯性指数都是1. (Ⅰ)计算a的值; (Ⅱ)用正交变换将二次型化为标准形; (Ⅲ)当χ满足χTχ=2时,求f的最大值与最小值.
设二次型f(χ1,χ2,χ3)=χ12+aχ22+χ32+2χ1χ2-2χ2χ3-2aχ1χ3的正、负惯性指数都是1. (Ⅰ)计算a的值; (Ⅱ)用正交变换将二次型化为标准形; (Ⅲ)当χ满足χTχ=2时,求f的最大值与最小值.
admin
2017-11-09
102
问题
设二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=χ
1
2
+aχ
2
2
+χ
3
2
+2χ
1
χ
2
-2χ
2
χ
3
-2aχ
1
χ
3
的正、负惯性指数都是1.
(Ⅰ)计算a的值;
(Ⅱ)用正交变换将二次型化为标准形;
(Ⅲ)当χ满足χ
T
χ=2时,求f的最大值与最小值.
选项
答案
(Ⅰ)二次型的矩阵为A=[*],则二次型的正、负惯性指数都是1,可知R(A)=2, |A|=[*]=(a+2)(a-1)
2
=0, 所以a=-2,或a=1,又a=1时,显然R(A)=1,故只取a=-2. (Ⅱ)此时|λE-A|=λ(λ+3)(λ-3),所以A的特征值是3,-3,0. 当λ
1
=3时,解方程组(3E-A)χ=0,得基础解系为α
1
=(1,0,1)
T
; 当λ
2
=-3时,解方程组(-3E-A)χ=0,得基础解系为α
2
=(1,-2,-1)
T
; 当λ
2
=0时,解方程组(0E-A)χ=0,得基础解系为α
3
=(1,1,-1)
T
. 将α
1
,α
2
,α
3
单位化得 [*] 因此所求的正交变换为 [*] 所求的标准形为3y
1
2
-3y
2
2
. (Ⅲ)由于χ=Qy,可知χ
T
χ=(Qy)
T
Qy=y
T
Q
T
Qy=y
T
y.因此限制条件χ
T
χ=2也等价于y
T
y=y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
=2. 由于二次型为3y
1
2
-3y
2
2
, 易知其在y
1
2
y
2
2
y
3
2
=2时,最大值为6,最小值为-6.
解析
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考研数学三
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