设f(x)在[0，﹢∞)上连续，且f(x)＝dt 证明：方程2f(x)＝x在(0，﹢∞)内有唯一实根ξ

admin2022-06-09 51

问题设f(x)在[0，﹢∞)上连续，且f(x)＝

dt
证明：方程2f(x)＝x在(0，﹢∞)内有唯一实根ξ

选项

答案由(I)，知方程即为21n(x＋1)＝x 令g(x)＝x－21n(x＋1)，x≥0，则 g(0)＝0o，g’(x)＝[*] 当0＜x＜1时，g’(x)＜0，g(x)在(0，1)内单调减少，从而存在ξ₁∈(0，1)，使得g(ξ₁)＜g(0)＝0 又由 [*] 可知存在充分大的ξ₂＞0，使得g(x₂)＞0，由零点定理，可知存在一点ξ∈(ξ₁，ξ₂)[*](0，＋∞)，使得g(ξ)＝0 由g’(x)＜0，x∈(0，1)且g’(x)＞0，x∈(1，＋∞)及g(0)＝0，可知ξ在(0，＋∞)内是唯一的

解析

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