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设f(x)在[0,﹢∞)上连续,且f(x)=dt 证明:方程2f(x)=x在(0,﹢∞)内有唯一实根ξ
设f(x)在[0,﹢∞)上连续,且f(x)=dt 证明:方程2f(x)=x在(0,﹢∞)内有唯一实根ξ
admin
2022-06-09
61
问题
设f(x)在[0,﹢∞)上连续,且f(x)=
dt
证明:方程2f(x)=x在(0,﹢∞)内有唯一实根ξ
选项
答案
由(I),知方程即为21n(x+1)=x 令g(x)=x-21n(x+1),x≥0,则 g(0)=0o,g’(x)=[*] 当0<x<1时,g’(x)<0,g(x)在(0,1)内单调减少,从而存在ξ
1
∈(0,1),使得g(ξ
1
)<g(0)=0 又由 [*] 可知存在充分大的ξ
2
>0,使得g(x
2
)>0,由零点定理,可知存在一点ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](0,+∞), 使得g(ξ)=0 由g’(x)<0,x∈(0,1)且g’(x)>0,x∈(1,+∞)及g(0)=0,可知ξ在(0,+∞)内是唯一的
解析
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考研数学二
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