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设有微分方程y’一2y=φ(x),其中φ(x)=试求:在(一∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(一∞,1)和(1,+∞)内都满足所给方程,且满足条件y(0)=0.
设有微分方程y’一2y=φ(x),其中φ(x)=试求:在(一∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(一∞,1)和(1,+∞)内都满足所给方程,且满足条件y(0)=0.
admin
2018-06-14
108
问题
设有微分方程y’一2y=φ(x),其中φ(x)=
试求:在(一∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(一∞,1)和(1,+∞)内都满足所给方程,且满足条件y(0)=0.
选项
答案
这是一个一阶线性非齐次微分方程,由于其自由项为分段函数,所以应分段求解,并且为保持其连续性,还应将其粘合在一起. 当x<1时,方程y’一2y=2的两边同乘e
-2x
得(ye
-2x
)’=2e
-2x
,积分得通解y=C
1
e
2x
—1; 而当x>1时,方程y’一2y=0的通解为y=C
2
e
2x
. 为保持其在x=1处的连续性,应使C
1
e
2
—1=C
2
e
2
,即C
2
=C
1
—e
-2
,这说明方程的通解为 [*] 再根据初始条件,即得C
1
=1,即所求特解为y=[*].
解析
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考研数学三
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