已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明： (I)aij=AijATA=E，且｜A｜=1； (II)aij=一AijATA=E，且｜A｜=一1。

admin2017-01-13 50

问题已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为A中元素a_ij的代数余子式，证明：
(I)a_ij=A_ij

A^TA=E，且｜A｜=1；
(II)a_ij=一A_ij

A^TA=E，且｜A｜=一1。

选项

答案(I)当a_ij=A_ij时，有A^T=A^*，则A^TA=A^*A=｜A｜E。由于A为n阶非零实矩阵(a_ij不全为零)，所以[*]，而tr(A^TA)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，故｜A｜＞0.在A^TA =｜A｜E两边取行列式，得｜A｜^n-2=1，从而｜A｜=1。反之，若A^TA=E且｜A｜=1，则A^*A=｜A｜E=A^TA，于是A^T=A^*，即a_ij=A_ij (Ⅱ)当a_ij=一A_ij时，有A^T=一A^*，则A^TA=一A^*A=一｜A｜E，此时n｜A｜=tr(一A^TA)=一[*]，即｜A｜＜0.即A^TA=一｜A｜E两边取行列式，得｜A｜=一1。反之，若A^TA=E且｜A｜=一1，则A^*A=｜A｜E=一E=一A^TA=(一A^T)A，于是A^T=一A^*，即a_ij=一A_ij。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/FCt4777K

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明： (I)aij=AijATA=E，且｜A｜=1； (II)aij=一AijATA=E，且｜A｜=一1。

考研数学二

设,求偏导数f’x(x,y),f’y(x,y).

设区域D是由y轴与曲线x=cosy所围成，则二重积分3x2sin2ydxdy=________。

根据已知条件，进行作答。设f(x)在[a,b]上连续，且严格单增，证明：(a+b)∫abf(x)dx＜2∫abxf(x)dx。

设在部分球面x2+y2+z2=5R2，x＞0,y＞0,z＞0上函数f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz有极大值，试求此最大值，并利用上述结果证明对任意正数a,b,c总满足abc3≤275

求微分方程ylnydx+(x－lny)dy=0的通解。

求微分方程xy’+y－ex=0满足条件y|x=1=e的特解。

设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：A2=A的充要条件是ξTξ=1；

设已知线性方程组Ax=6存在2个不同的解。求方程组Ax=b的通解．

设已知线性方程组Ax=6存在2个不同的解。求λ．a；

《选择与安排》一文提出做文章最重要的是

治疗水肿可选用的药物有

下列不是泄泻变证阴竭阳脱型的临床表现的是

A．银杏内酯B．雷公藤内酯C．穿心莲内酯D．七叶内酯E．白芷内酯

下列各项中，应计入营业费用的有(　　)。

1454．6+1655．3+1644．2+2667．8的值是()。

舜帝时，()学道于蜀地鹄鸣山中，以道书招致信徒，信道者出米五斗，有病则令自首其过。这就

＝______．

在WindoWS2000本机模式域的域控制器上，不可以创建的安全组为______。

Theterm"qualityoflife"isdifficulttodefine.It【C1】______averywidescopesuchaslivingenvironment,health,employment,

已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明： (I)aij=AijATA=E，且｜A｜=1； (II)aij=一AijATA=E，且｜A｜=一1。

考研数学二

设,求偏导数f’x(x,y),f’y(x,y).

设区域D是由y轴与曲线x=cosy所围成，则二重积分3x2sin2ydxdy=________。

根据已知条件，进行作答。设f(x)在[a,b]上连续，且严格单增，证明：(a+b)∫abf(x)dx＜2∫abxf(x)dx。

设在部分球面x2+y2+z2=5R2，x＞0,y＞0,z＞0上函数f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz有极大值，试求此最大值，并利用上述结果证明对任意正数a,b,c总满足abc3≤275

求微分方程ylnydx+(x－lny)dy=0的通解。

求微分方程xy’+y－ex=0满足条件y|x=1=e的特解。

设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：A2=A的充要条件是ξTξ=1；

设已知线性方程组Ax=6存在2个不同的解。求方程组Ax=b的通解．

设已知线性方程组Ax=6存在2个不同的解。求λ．a；

《选择与安排》一文提出做文章最重要的是

治疗水肿可选用的药物有

下列不是泄泻变证阴竭阳脱型的临床表现的是

A．银杏内酯B．雷公藤内酯C．穿心莲内酯D．七叶内酯E．白芷内酯

下列各项中，应计入营业费用的有( )。

1454．6+1655．3+1644．2+2667．8的值是()。

舜帝时，()学道于蜀地鹄鸣山中，以道书招致信徒，信道者出米五斗，有病则令自首其过。这就

＝______．

在WindoWS2000本机模式域的域控制器上，不可以创建的安全组为______。

Theterm"qualityoflife"isdifficulttodefine.It【C1】______averywidescopesuchaslivingenvironment,health,employment,

下列各项中，应计入营业费用的有(　　)。