已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明： (I)aij=AijATA=E，且｜A｜=1； (II)aij=一AijATA=E，且｜A｜=一1。

admin2017-01-13 39

问题已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为A中元素a_ij的代数余子式，证明：
(I)a_ij=A_ij

A^TA=E，且｜A｜=1；
(II)a_ij=一A_ij

A^TA=E，且｜A｜=一1。

选项

答案(I)当a_ij=A_ij时，有A^T=A^*，则A^TA=A^*A=｜A｜E。由于A为n阶非零实矩阵(a_ij不全为零)，所以[*]，而tr(A^TA)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，故｜A｜＞0.在A^TA =｜A｜E两边取行列式，得｜A｜^n-2=1，从而｜A｜=1。反之，若A^TA=E且｜A｜=1，则A^*A=｜A｜E=A^TA，于是A^T=A^*，即a_ij=A_ij (Ⅱ)当a_ij=一A_ij时，有A^T=一A^*，则A^TA=一A^*A=一｜A｜E，此时n｜A｜=tr(一A^TA)=一[*]，即｜A｜＜0.即A^TA=一｜A｜E两边取行列式，得｜A｜=一1。反之，若A^TA=E且｜A｜=一1，则A^*A=｜A｜E=一E=一A^TA=(一A^T)A，于是A^T=一A^*，即a_ij=一A_ij。

解析

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考研数学二

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已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明： (I)aij=AijATA=E，且｜A｜=1； (II)aij=一AijATA=E，且｜A｜=一1。

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