已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明： (I)aij=AijATA=E，且｜A｜=1； (II)aij=一AijATA=E，且｜A｜=一1。

admin2017-01-13 32

问题已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为A中元素a_ij的代数余子式，证明：
(I)a_ij=A_ij

A^TA=E，且｜A｜=1；
(II)a_ij=一A_ij

A^TA=E，且｜A｜=一1。

选项

答案(I)当a_ij=A_ij时，有A^T=A^*，则A^TA=A^*A=｜A｜E。由于A为n阶非零实矩阵(a_ij不全为零)，所以[*]，而tr(A^TA)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，故｜A｜＞0.在A^TA =｜A｜E两边取行列式，得｜A｜^n-2=1，从而｜A｜=1。反之，若A^TA=E且｜A｜=1，则A^*A=｜A｜E=A^TA，于是A^T=A^*，即a_ij=A_ij (Ⅱ)当a_ij=一A_ij时，有A^T=一A^*，则A^TA=一A^*A=一｜A｜E，此时n｜A｜=tr(一A^TA)=一[*]，即｜A｜＜0.即A^TA=一｜A｜E两边取行列式，得｜A｜=一1。反之，若A^TA=E且｜A｜=一1，则A^*A=｜A｜E=一E=一A^TA=(一A^T)A，于是A^T=一A^*，即a_ij=一A_ij。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/FCt4777K

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明： (I)aij=AijATA=E，且｜A｜=1； (II)aij=一AijATA=E，且｜A｜=一1。

考研数学二

设函数f(u)在(0,+∞)内具有二阶导数，且z=满足等式若f(1)=0,f’(1)=1,求函数f(u)的表达式。

设z=z(x,y)是由方程=________。

设函数u(x,y)=ψ(x+y)+ψ(x－y)+∫x-yx+yψ(t)dt，其中函数ψ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有________。

求幂级数的收敛域，并求其和函数。

求下列函数的偏导数。

利用变量替换u=x,化为新方程________。

求下列微分方程的通解。sec2xtanydx+sec2ytanxdy=0

求下列微分方程的通解。(x+1)y’+1=2e-y

微分方程y"+2y’+5y=0的通解为________。

设函数y=y(x)在(－∞,+∞)内具有二阶导数，且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=的解。

菲利普斯曲线

争名利，何年是彻。彻：

A．浸渍法B．渗漉法C．煎煮法D．回流法E．沙氏或索氏提取法

研究城市土地利用空间分布结构时，将城镇分为()。

计算机的数据输出设备主要有()、打印机、绘图仪等。

甲上市公司拟非公开发行股票，其发行方案的下列内容中，符合证券法律制度规定的是()。(2011年)

(2017·福建)“小明既聪明又勤奋”，该评价涉及的心理现象是()

《根特协定》

Notes:parade游行TheVillageofPouceCoupeofficewillreopenon________.