2. 考研
  3. 已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明： (I)aij=AijATA=E，且｜A｜=1； (II)aij=一AijATA=E，且｜A｜=一1。

已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明： (I)aij=AijATA=E，且｜A｜=1； (II)aij=一AijATA=E，且｜A｜=一1。

admin2017-01-13  18
问题 已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明：
(I)aij=AijATA=E，且｜A｜=1；
(II)aij=一AijATA=E，且｜A｜=一1。
选项
答案(I)当aij=Aij时，有AT=A*，则ATA=A*A=｜A｜E。由于A为n阶非零实矩阵(aij不全为零)，所以[*]，而tr(ATA)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，故｜A｜＞0.在ATA =｜A｜E两边取行列式，得｜A｜n-2=1，从而｜A｜=1。 反之，若ATA=E且｜A｜=1，则A*A=｜A｜E=ATA，于是AT=A*，即aij=Aij (Ⅱ)当aij=一Aij时，有AT=一A*，则ATA=一A*A=一｜A｜E，此时n｜A｜=tr(一ATA)=一[*]，即｜A｜＜0.即ATA=一｜A｜E两边取行列式，得｜A｜=一1。 反之，若ATA=E且｜A｜=一1，则A*A=｜A｜E=一E=一ATA=(一AT)A，于是AT=一A*，即aij=一Aij。
解析
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考研数学二

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