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已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式,证明: (I)aij=AijATA=E,且|A|=1; (II)aij=一AijATA=E,且|A|=一1。
已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式,证明: (I)aij=AijATA=E,且|A|=1; (II)aij=一AijATA=E,且|A|=一1。
admin
2017-01-13
15
问题
已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵,A
ij
为A中元素a
ij
的代数余子式,证明:
(I)a
ij
=A
ij
A
T
A=E,且|A|=1;
(II)a
ij
=一A
ij
A
T
A=E,且|A|=一1。
选项
答案
(I)当a
ij
=A
ij
时,有A
T
=A
*
,则A
T
A=A
*
A=|A|E。由于A为n阶非零实矩阵(a
ij
不全为零),所以[*],而tr(A
T
A)=tr(|A|E)=n|A|,故|A|>0.在A
T
A =|A|E两边取行列式,得|A|
n-2
=1,从而|A|=1。 反之,若A
T
A=E且|A|=1,则A
*
A=|A|E=A
T
A,于是A
T
=A
*
,即a
ij
=A
ij
(Ⅱ)当a
ij
=一A
ij
时,有A
T
=一A
*
,则A
T
A=一A
*
A=一|A|E,此时n|A|=tr(一A
T
A)=一[*],即|A|<0.即A
T
A=一|A|E两边取行列式,得|A|=一1。 反之,若A
T
A=E且|A|=一1,则A
*
A=|A|E=一E=一A
T
A=(一A
T
)A,于是A
T
=一A
*
,即a
ij
=一A
ij
。
解析
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考研数学二
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