根据已知条件,进行作答。 设f(x)在[a,b]上连续,且严格单增,证明:(a+b)∫abf(x)dx<2∫abxf(x)dx。

admin2022-10-08  34

问题 根据已知条件,进行作答。
设f(x)在[a,b]上连续,且严格单增,证明:(a+b)∫abf(x)dx<2∫abxf(x)dx。

选项

答案作辅助函数F(x)=(a+x)∫axf(t)dt-2∫axtf(t)dt,又因为 F’(x)=∫axf(t)dt+(a+x)f(x)-2xf(x) =∫axf(t)dt+(a-x)f(x)=∫axf(t)dt-∫axf(x)dt =∫ax[f(t)-f(x)]dt<0(因为t≤x,且f(x)单调递增,即f(t)≤f(x)) 所以F(x)单调递减,又因为F(a)=0,由此可知F(b)<F(a)=0,即 (a+b)∫abf(x)dx<2∫abxf(x)dx.

解析
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