根据已知条件，进行作答。设f(x)在[a,b]上连续，且严格单增，证明：(a+b)∫abf(x)dx＜2∫abxf(x)dx。

admin2022-10-08 67

问题根据已知条件，进行作答。
设f(x)在[a,b]上连续，且严格单增，证明：(a+b)∫_a^bf(x)dx＜2∫_a^bxf(x)dx。

选项

答案作辅助函数F(x)=(a+x)∫_a^xf(t)dt－2∫_a^xtf(t)dt，又因为 F’(x)=∫_a^xf(t)dt+(a+x)f(x)－2xf(x) =∫_a^xf(t)dt+(a－x)f(x)=∫_a^xf(t)dt－∫_a^xf(x)dt =∫_a^x[f(t)－f(x)]dt＜0(因为t≤x,且f(x)单调递增，即f(t)≤f(x)) 所以F(x)单调递减，又因为F(a)=0,由此可知F(b)＜F（a)=0，即 (a+b)∫_a^bf(x)dx＜2∫_a^bxf(x)dx.

解析

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考研数学三

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