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  3. 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1，… ，ηn—r+1是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn—r+1ηn—r+1，其中k1+…+kn—r+1=1。

设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1，… ，ηn—r+1是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn—r+1ηn—r+1，其中k1+…+kn—r+1=1。

admin2018-12-29  58
问题 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1，… ，ηn—r+1是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为
x=k1η1+…+kn—r+1ηn—r+1，其中k1+…+kn—r+1=1。
选项
答案设x为Ax=b的任一解，由题设知η1，η2，…，ηn—r+1线性无关且均为Ax=b的解。 取ξ1=η2—η1，ξ2=η3—η1，…，ξn—r=ηn—r+1—η1，根据线性方程组解的结构，它们均为对应齐次方程Ax=0的解。 下面用反证法证： 设ξ1，ξ2，…，ξn—r线性相关，则存在不全为零的数l1，l2，…，ln—r，使得 l1ξ1+l2ξ2+ … +ln—rξn—r=0， 即 l1(η2—η1)+ l2(η3—η1)+ … + ln—r(ηn—r+1—η1)=0， 也即 —(l1+l2+ … +ln—r)η1+l1η2+l2η3+ … +ln—rηn—r+1=0。 由η1，η2，…，ηn—r+1线性无关知 —(l1+l2+ … +ln—r)=l1=l2= … =ln—r=0， 这与l1，l2，…，ln—r不全为零矛盾，故假设不成立。因此ξ1，ξ2，…，ξn—r线性无关，是Ax=0的基础解系。 由于x，η1均为Ax=b的解，所以x—η1为Ax=0的解，因此x—η1可由ξ1，ξ2，…，ξn—r线性表示，设 x—η1=k2ξ1+k3ξ2+ … +kn—r+1ξn—r=k2(η2—η1)+k3(η3—η1)+ … +kn—r+1(ηn—r+1—η1)， 则 x=η1(1—k2—k3—…—kn—r+1)+k2η2+k3η3+ … +kn—r+1ηn—r+1， 令k1=1—k2—k3—…—kn—r+1，则k1+k2+k3+ … +kn—r+1=1，从而 x=k1η1+k2η2+ … +kn—r+1ηn—r+1恒成立。
解析
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