首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,… ,ηn—r+1是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn—r+1ηn—r+1,其中k1+…+kn—r+1=1。
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,… ,ηn—r+1是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn—r+1ηn—r+1,其中k1+…+kn—r+1=1。
admin
2018-12-29
82
问题
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η
1
,… ,η
n—r+1
是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为
x=k
1
η
1
+…+k
n—r+1
η
n—r+1
,其中k
1
+…+k
n—r+1
=1。
选项
答案
设x为Ax=b的任一解,由题设知η
1
,η
2
,…,η
n—r+1
线性无关且均为Ax=b的解。 取ξ
1
=η
2
—η
1
,ξ
2
=η
3
—η
1
,…,ξ
n—r
=η
n—r+1
—η
1
,根据线性方程组解的结构,它们均为对应齐次方程Ax=0的解。 下面用反证法证: 设ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
线性相关,则存在不全为零的数l
1
,l
2
,…,l
n—r
,使得 l
1
ξ
1
+l
2
ξ
2
+ … +l
n—r
ξ
n—r
=0, 即 l
1
(η
2
—η
1
)+ l
2
(η
3
—η
1
)+ … + l
n—r
(η
n—r+1
—η
1
)=0, 也即 —(l
1
+l
2
+ … +l
n—r
)η
1
+l
1
η
2
+l
2
η
3
+ … +l
n—r
η
n—r+1
=0。 由η
1
,η
2
,…,η
n—r+1
线性无关知 —(l
1
+l
2
+ … +l
n—r
)=l
1
=l
2
= … =l
n—r
=0, 这与l
1
,l
2
,…,l
n—r
不全为零矛盾,故假设不成立。因此ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
线性无关,是Ax=0的基础解系。 由于x,η
1
均为Ax=b的解,所以x—η
1
为Ax=0的解,因此x—η
1
可由ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
线性表示,设 x—η
1
=k
2
ξ
1
+k
3
ξ
2
+ … +k
n—r+1
ξ
n—r
=k
2
(η
2
—η
1
)+k
3
(η
3
—η
1
)+ … +k
n—r+1
(η
n—r+1
—η
1
), 则 x=η
1
(1—k
2
—k
3
—…—k
n—r+1
)+k
2
η
2
+k
3
η
3
+ … +k
n—r+1
η
n—r+1
, 令k
1
=1—k
2
—k
3
—…—k
n—r+1
,则k
1
+k
2
+k
3
+ … +k
n—r+1
=1,从而 x=k
1
η
1
+k
2
η
2
+ … +k
n—r+1
η
n—r+1
恒成立。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/FFM4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
(93年)设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数,且f’(x)≥k>0,f(0)<0,证明f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点.
(08年)已知幂级数在x=0处收敛,在x=一4处发散,则幂级数的收敛域为_______.
(02年)
(92年)设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问:(1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论.(2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论.
(90年)已知向量组α1=(1,2,3,4),α2=(2,3,4,5),α3=(3,4,5,6),α4=(4,5,6,7),则该向量组的秩是_______.
二次积分=_______,
二次积分=_______.
求的极值.
设f(x)在x=a的邻域内二阶可导且f’(a)≠0.则=_______.
设z=z(x,y)是由9x2一54xy+90y2一6yz一z2+18=0确定的函数,(Ⅰ)求证z=z(x,y)一阶偏导数并求驻点;(Ⅱ)求z=z(x,y)的极值点和极值.
随机试题
请运用“河北省”“全面建成小康社会”“十三五规划”“精准扶贫”“农村”这五个词讲一个故事,词语顺序可颠倒。
Hawaii,theyoungeststateoftheUnitedStates,isdifferentinmanywaysfromthemainlandstates.TheHawaiianpeopleaream
A.新鲜冰冻血浆B.冷沉淀凝血因子C.单采新鲜冰冻血浆D.单采少白细胞血小板E.单采粒细胞按1%抽检血型,稀有血型标签标示及HB-sAg、HCV-Ab、HIV-Ab、梅毒螺旋体血清学试验、ALT及纤维蛋白原含量和Ⅷ因子含量的是
ASA分类的Ⅳ类是指()。
潜水完全井抽水量大小与相关物理量的关系是()。[2017年真题]
在上述甲公司所签订的合同中( )。根据《关于适用(中华人民共和国合同法)若干问题的解释(一)》的规定,当事人超越经营范围订立合同,人民法院( )。
业主向物业管理企业支付固定物业服务费用,盈余或亏损均由物业管理企业享有或承担的计费方式是()。
儒家创始人孔子的中心学说是()。
某市私家车泛滥,加重了该市的空气污染,并且在早高峰期和晚高峰期间常常造成多个路段出现严重的拥堵现象。为了解决这一问题,该市政府决定对私家车实行全天候单、双号限行,即奇数日只允许尾号为单数的私家车出行,偶数日只允许尾号为双数的私家车出行。以下哪项最能质疑该
以往的研究认为,火山喷发会释放大量热量,引起全球变暖,但近日的研究发现,火山喷发不仅不会引起全球温度上升,而且还可以削弱全球变暖的影响。以下哪项如果为真,最能支持上述结论?
最新回复
(
0
)