2. 考研
  3. 设z=z(x，y)是由9x2一54xy+90y2一6yz一z2+18=0确定的函数， (Ⅰ)求证z=z(x，y)一阶偏导数并求驻点； (Ⅱ)求z=z(x，y)的极值点和极值．

设z=z(x，y)是由9x2一54xy+90y2一6yz一z2+18=0确定的函数， (Ⅰ)求证z=z(x，y)一阶偏导数并求驻点； (Ⅱ)求z=z(x，y)的极值点和极值．

admin2017-11-23  112
问题 设z=z(x，y)是由9x2一54xy+90y2一6yz一z2+18=0确定的函数，
(Ⅰ)求证z=z(x，y)一阶偏导数并求驻点；
(Ⅱ)求z=z(x，y)的极值点和极值．
选项
答案(Ⅰ)利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得 18xdx一54(ydx+xdy)+180ydy一6zdy一6ydz一2zdz=0， 即 (18x一54y)dx+(180y一54x一6z)dy一(6y+2z)dz=0． 从而 [*] 为求隐函数z=z(x，y)的驻点，应解方程组 [*] ②可化简为x=3y，由③可得z=30y一9x=3y，代入①可解得两个驻点x=3，y=1，z=3 与x=一3，y=一1，z=一3． (Ⅱ)z=z(x，y)的极值点必是它的驻点．为判定z=z(x，y)在两个驻点处是否取得极值，还需求z=z(x，y)在这两点的二阶偏导数． 注意，在驻点P=(3，1，3)，Q=(一3，一1，一3)处 [*] 在驻点P，Q处 [*] 再由(3y+z)[*]=90y一27x一3z=>在驻点P，Q处 (3y+z)[*]=90．于是可得出在P点处3y+z=6， [*] 故在点(3，1)处z=z(x，y)取得极小值z(3，1)=3． 在Q点处3y+z=一6． [*] 因AC—B2 [*] 故在点(一3，一1)处z=z(x，y)取得极大值z(一3，一1)=一3．
解析
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考研数学一

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