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设z=z(x,y)是由9x2一54xy+90y2一6yz一z2+18=0确定的函数, (Ⅰ)求证z=z(x,y)一阶偏导数并求驻点; (Ⅱ)求z=z(x,y)的极值点和极值.
设z=z(x,y)是由9x2一54xy+90y2一6yz一z2+18=0确定的函数, (Ⅰ)求证z=z(x,y)一阶偏导数并求驻点; (Ⅱ)求z=z(x,y)的极值点和极值.
admin
2017-11-23
85
问题
设z=z(x,y)是由9x
2
一54xy+90y
2
一6yz一z
2
+18=0确定的函数,
(Ⅰ)求证z=z(x,y)一阶偏导数
并求驻点;
(Ⅱ)求z=z(x,y)的极值点和极值.
选项
答案
(Ⅰ)利用一阶全微分形式不变性,将方程求全微分即得 18xdx一54(ydx+xdy)+180ydy一6zdy一6ydz一2zdz=0, 即 (18x一54y)dx+(180y一54x一6z)dy一(6y+2z)dz=0. 从而 [*] 为求隐函数z=z(x,y)的驻点,应解方程组 [*] ②可化简为x=3y,由③可得z=30y一9x=3y,代入①可解得两个驻点x=3,y=1,z=3 与x=一3,y=一1,z=一3. (Ⅱ)z=z(x,y)的极值点必是它的驻点.为判定z=z(x,y)在两个驻点处是否取得极值,还需求z=z(x,y)在这两点的二阶偏导数. 注意,在驻点P=(3,1,3),Q=(一3,一1,一3)处 [*] 在驻点P,Q处 [*] 再由(3y+z)[*]=90y一27x一3z=>在驻点P,Q处 (3y+z)[*]=90.于是可得出在P点处3y+z=6, [*] 故在点(3,1)处z=z(x,y)取得极小值z(3,1)=3. 在Q点处3y+z=一6. [*] 因AC—B
2
[*] 故在点(一3,一1)处z=z(x,y)取得极大值z(一3,一1)=一3.
解析
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考研数学一
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