已知n维向量α1，α2，…，αs线性无关，如果n维向量β不能由α1，α2，…，αs线性表出，而γ可由α1，α2，…，αs线性表出，证明α1，α1+α2，α2+α3，…，αs－1+αs，β+γ线性无关．

admin2016-11-03 33

问题已知n维向量α₁，α₂，…，α_s线性无关，如果n维向量β不能由α₁，α₂，…，α_s线性表出，而γ可由α₁，α₂，…，α_s线性表出，证明α₁，α₁+α₂，α₂+α₃，…，α_s－1+α_s，β+γ线性无关．

选项

答案利用拆项重组法及线性无关的定义证之．由题设γ可由α₁，α₂，…，α_s线性表出，可设 γ=c₁α₁+c₂α₂+…+c_sα_s，又令 k₁α₁+k₂(α₁+α₂)+…+k_s(α_s+α_s－1)+k(β+γ)=0．将其拆项重组得到 (k₁+k₂+kc₁)α₁+(k₂+k₃+kc₂)α₂+…+(k_s+kc_s)α_s+kβ=0．因α₁，α₂，…，α_s线性无关，而β不能由α₁，α₂，…，α_s线性表出，故α₁，α₂，…，α_s，β线性无关．因而 k=0， k₁+k₂+kc₁=0， k₂+k₃+kc₂=0， …，k_s+kc_s=0，即 k₁+k₂=0，k₂+k₃=0，…，k_s－1+k_s=0，k_s=0，解得 k₁=k₂=…=k_s－1=k_s=0，即α₁，α₁+α₂，α₂+α₃，…，α_s－1+α_s，β+γ线性无关．

解析利用线性无关的定义证之，也可用矩阵表示法证之．

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考研数学一

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已知n维向量α1，α2，…，αs线性无关，如果n维向量β不能由α1，α2，…，αs线性表出，而γ可由α1，α2，…，αs线性表出，证明α1，α1+α2，α2+α3，…，αs－1+αs，β+γ线性无关．

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