已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得Ak＝0，试证明矩阵E－A可逆，并求出逆矩阵的表达式(层为n阶单位矩阵)．

admin2012-06-04 71

问题已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得A^k＝0，试证明矩阵E－A可逆，并求出逆矩阵的表达式(层为n阶单位矩阵)．

选项

答案由代数公式1－a^k＝(1－a)(1＋a＋…＋a^k－1)以及A与E可交换，有E－A^k＝(E－A)(E＋A＋…＋A^k－1)，而A^k＝0，故有(E－A)(E＋A＋…＋A^k－1) ＝E．可知E－A可逆，且有(E－A)^－1＝E＋A＋…＋A^k－1．

解析

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考研数学一

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