设二阶常系数线性齐次微分方程y’’＋ay’+by=0的通解为y=C1ex+C2e2x，那么非齐次微分方程y’’+ay’+by=1满足的条件y(0)=2，y’(0)=一1的解为________．

admin2019-03-20 10

问题设二阶常系数线性齐次微分方程y^’’＋ay^’+by=0的通解为y=C₁e^x+C₂e^2x，那么非齐次微分方程y^’’+ay^’+by=1满足的条件y(0)=2，y^’(0)=一1的解为________．

选项

答案y=4e^x一[*]

解析二阶线性常系数齐次方程对应的特征方程为r²+ar+b=0，又由通解可得特征根r₁=1，r₂=2，即(r一1)(r一2)=0，r²一3r＋2=0，故a=一3，b=2．
所以非齐次微分方程为y^’’一3y^’＋2y=1，由于λ=0不是特征方程的根，因此，设特解y^*=A，则
(y^*)^’=0，(y^*)^’’=0，代入可得