2. 考研
  3. f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0．证明：存在一点ξ∈[0，1]，使得 f’(ξ)=2∫01f(x)dx．

f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0．证明：存在一点ξ∈[0，1]，使得 f’(ξ)=2∫01f(x)dx．

admin2018-09-20  58
问题 f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0．证明：存在一点ξ∈[0，1]，使得
    f’(ξ)=2∫01f(x)dx．
选项
答案因为f’(x)在[0，1]上连续，所以f’(x)在[0，1]上有最小值和最大值，设为m，M，即存在x1，x2∈[0，1]，使f’(x1)=m，f’(x2)=M： 由拉格朗日中值定理，对任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使f(x)=f(x)-f(0)=f’(η)x，于是有 f’(x1)x=mx≤f(x)=f(x)一f(0)=f’(η)x≤Mx=f’(x2)x， 两边积分得 f’(x1)∫01xdx≤∫01f(x)dx≤f’(x2)∫01xdx， 即[*]f’(x1)≤∫01f(x)dx≤[*]f’(x2)，故f’(x1)≤2∫01f(x)dx≤f’(x2)． 因为f’(x)在[0，1]上连续，由介值定理，必存在ξ∈[x1，x2][*][0，1]，或ξ∈[x2，x1][*][0，1]，使 f’(ξ)=2∫01f(x)dx．
解析
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考研数学三

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