设矩阵A、B的行数都是m，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(AB)．

admin2018-07-27 80

问题设矩阵A、B的行数都是m，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A

B)．

选项

答案设B、X按列分块分别为B=[b₁ b₂…b_p]．X=[x₁ x₂…x_p]，则AX=B，[*][Ax₁ Ax₂…Ax_p]=[b₁ b₂…b_p][*]Ax_j=b_j(j=1，2，…，p)，故AX=B有解[*]Ax_j=b_j(j=1，2，…，p)有解，故由非齐次线性方程组Ax_j=b_j有解的充要条件可知，AX=B有解[*]r(A)=r(A[*]b_j)(j=1，2，…，p)[*]r(A)=r[A b₁ b₂…b_p]=r[A[*]B]．

解析

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考研数学三

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