设随机变量X，Y相互独立，已知X在[0，1]上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布．求(Ⅰ)随机变量Z=2X+Y的密度函数；(Ⅱ)Cov(Y，Z)，并判断X与Z的独立性．

admin2016-10-20 29

问题设随机变量X，Y相互独立，已知X在[0，1]上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布．求(Ⅰ)随机变量Z=2X+Y的密度函数；(Ⅱ)Cov(Y，Z)，并判断X与Z的独立性．

选项

答案(X，Y)的联合密度 [*] (Ⅰ)分布函数法． F_Z(z)=P{Z≤x}=P{2X+Y≤z}．当z＜0时，F_Z(z)=0；当0≤z＜2时，如图4．1， [*] Z的概率密度f_Z(z)为 [*] (Ⅱ)由于X，Y相互独立，所以Cov(X，Y)=0． Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X+Y)=2Cov(X，Y)+DY=0+1=1 由于Cov(X，Z)=Cov(X，2X+Y)=2DX+Cov(X，Y)=[*]≠0，所以X与Z不独立．

解析

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考研数学三

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