2. 考研
  3. 已知曲线L：其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)=0，若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求此曲线L与x轴及y轴所围无边界区域的面积．

已知曲线L：其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)=0，若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求此曲线L与x轴及y轴所围无边界区域的面积．

admin2020-05-02  16
问题 已知曲线L：其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)=0，若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求此曲线L与x轴及y轴所围无边界区域的面积．
选项
答案(1)曲线L在任一点(x，y)处的切线斜率为[*]过该点(x，y)处的切线方程为 [*] 令Y=0得X=f′(t)cost+f(t)．由于曲线L与x轴和y轴的交点到切点的距离恒为1，故有 [f′(t)cott+f(t)－f(t)]2+cos2t=1 因为[*]所以[*]两边同时取不定积分可得 f(t)=ln|sect+tant|－sint+C 又因为f(0)=0，所以C=0．故函数f(t)=ln|sect+tant|－sint． (2)此曲线L与x轴和y轴所围成的无边界的区域的面积为 [*]
解析
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考研数学一

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