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已知曲线L:其中函数f(t)具有连续导数,且f(0)=0,若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1,求函数f(t)的表达式,并求此曲线L与x轴及y轴所围无边界区域的面积.
已知曲线L:其中函数f(t)具有连续导数,且f(0)=0,若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1,求函数f(t)的表达式,并求此曲线L与x轴及y轴所围无边界区域的面积.
admin
2020-05-02
22
问题
已知曲线L:
其中函数f(t)具有连续导数,且f(0)=0,
若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1,求函数f(t)的表达式,并求此曲线L与x轴及y轴所围无边界区域的面积.
选项
答案
(1)曲线L在任一点(x,y)处的切线斜率为[*]过该点(x,y)处的切线方程为 [*] 令Y=0得X=f′(t)cost+f(t).由于曲线L与x轴和y轴的交点到切点的距离恒为1,故有 [f′(t)cott+f(t)-f(t)]
2
+cos
2
t=1 因为[*]所以[*]两边同时取不定积分可得 f(t)=ln|sect+tant|-sint+C 又因为f(0)=0,所以C=0.故函数f(t)=ln|sect+tant|-sint. (2)此曲线L与x轴和y轴所围成的无边界的区域的面积为 [*]
解析
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考研数学一
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