已知n维向量组α1,α2,…,αs线性无关,则n维向量组β1,β2,…,βs也线性无关的充分必要条件为

admin2020-03-01  40

问题 已知n维向量组α1,α2,…,αs线性无关,则n维向量组β1,β2,…,βs也线性无关的充分必要条件为

选项 A、α1,α2,…,αs可用β1,β2,…,βs线性表示.
B、β1,β2,…,βs可用α1,α2,…,αs线性表示.
C、α1,α2,…,αs与β1,β2,…,βs等价.
D、矩阵(α1,α2,…,αs)和(β1,β2,…,βs)等价.

答案D

解析 从条件A可推出β1,β2,…,βs的秩不小于α1,α2,…,αs的秩s,β1,β2,…,βs线性无关.即A是充分条件,但它不是必要条件.
条件C也是充分条件,不是必要条件.
条件B既非充分的,又非必要的.
两个矩阵等价就是它们类型相同,并且秩相等.现在(α1,α2,…,αs)和(β1,β2,…,βs)都是n×s矩阵,(α1,α2,…,αs)的秩为s,于是β1,β2,…,βs线性无关(即矩阵(β1,β2,…,βs)的秩也为s)<=>(α1,α2,…,αs)和(β1,β2,…,βs)等价.
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