已知A是n阶矩阵，α1,α2……αs是n维线性无关向量组，若Aα1,Aα2……Aαs线性相关．证明：A不可逆．

admin2015-08-17 43

问题已知A是n阶矩阵，α₁,α₂……α_s是n维线性无关向量组，若Aα₁,Aα₂……Aα_s线性相关．证明：A不可逆．

选项

答案因A₁α₁+A₂α₂+…A_sα_s线性相关，故存在不全为零的数k₁,k₂,……，k_s，使得k₁Aα₁+k₂Aα₂+…+k_sAα_s=0，即A(k₁Aα₁+k₂Aα₂+…+k_sAα_s)=Aξ=0．其中ξ=k₁Aα₁+k₂Aα₂+…+k_sAα_s成立，因已知α₁,α₂……α_s线性无关，对任意不全为零的k₁,k₂,……，k_s，有ξ=k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s≠0，而Aξ=0．说明线性方程组AX=0有非零解，从而｜A｜=0，A是不可逆矩阵．

解析

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