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  3. 已知A是n阶矩阵，α1,α2……αs是n维线性无关向量组，若Aα1,Aα2……Aαs线性相关．证明：A不可逆．

已知A是n阶矩阵，α1,α2……αs是n维线性无关向量组，若Aα1,Aα2……Aαs线性相关．证明：A不可逆．

admin2015-08-17  69
问题 已知A是n阶矩阵，α1,α2……αs是n维线性无关向量组，若Aα1,Aα2……Aαs线性相关．证明：A不可逆．
选项
答案因A1α1+A2α2+…Asαs线性相关，故存在不全为零的数k1,k2,……，ks，使得k1Aα1+k2Aα2+…+ksAαs=0，即A(k1Aα1+k2Aα2+…+ksAαs)=Aξ=0．其中ξ=k1Aα1+k2Aα2+…+ksAαs成立，因已知α1,α2……αs线性无关，对任意不全为零的k1,k2,……，ks，有ξ=k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，而Aξ=0．说明线性方程组AX=0有非零解，从而｜A｜=0，A是不可逆矩阵．
解析
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考研数学一

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