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  3. 求微分方程2y"+y’一y=(4—6x)e-x。满足条件y(0)=0,y’(0)=0的特解y=y(x)，并求y=y(x)的单调区间与极值．

求微分方程2y"+y’一y=(4—6x)e-x。满足条件y(0)=0,y’(0)=0的特解y=y(x)，并求y=y(x)的单调区间与极值．

admin2020-10-21  74
问题 求微分方程2y"+y’一y=(4—6x)e-x。满足条件y(0)=0,y’(0)=0的特解y=y(x)，并求y=y(x)的单调区间与极值．
选项
答案(1)求齐次线性微分方程2y"+y’一y=0的通解． 齐次微分方程2y"+y’一y=0的特征方程为2r2+r—1=0，特征根为r1=一1，r2=[*]， 故齐次线性微分方程的通解为 [*] (2)求非齐次线性微分方程2y"+y’一y=(4—6x)e-x的一个特解． 由于λ=一1是特征单根，故设其特解为y*=x(Ax+B)e-x，则 (y*)’=(2Ax+B)e-x一(Ax2+Bx)e-x. (y*)"=2Ae-x一2(2Ax+B)e-x+(Ax2+Bx)e-x． 将它们代入方程2y"+y’一y=(4—6x)e-x，得 —6Ax+(4A一3B)=一6x+4， 比较等式两边x同次幂的系数，得 [*] 所以y*=x2e-x． (3)非齐次线性微分方程2y"+y’一y=(4—6x)e-x的通解为 [*] (4)求微分方程2y"+y’—y=(4—6x)e-x满足条件y(0)=0，y’(0)=0的特解． [*] 由y(0)=0，y’(0)=0，得 [*] 故yY=x2e-x． 求y=x2e-x的单调区间与极值． y’=x(2一x)e-x，令y’=0，得驻点x1=0，x2=2，列表如下： [*] 故y=x2e-x的单调增区间为[0，2]，单调减区间为(一∞，0],[2，+∞)，极小值为y(0)=0， 极大值为y(2)=4e2．
解析
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考研数学二

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