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设f(x),g(x)满足f’(x)=g(x),g’(x)=2ex一f(x),且f(0)=0,g(0)=2,求∫0π[]dx.
设f(x),g(x)满足f’(x)=g(x),g’(x)=2ex一f(x),且f(0)=0,g(0)=2,求∫0π[]dx.
admin
2020-03-10
37
问题
设f(x),g(x)满足f’(x)=g(x),g’(x)=2e
x
一f(x),且f(0)=0,g(0)=2,求∫
0
π
[
]dx.
选项
答案
由f’(x)=g(x)可得f"(x)=g’(x),结合g’(x)=2e
2x
一f(x)可得f(x)满足微分方程f"(x)=2e
2x
一f(x),即 y"=2e
2x
一y. 在y"+y=2e
x
中,由于λ=1不是其齐次方程的特征根,因此它有形如y=ae
x
的特解,将y=ae
x
代入方程y"+y=2e
x
中可得a=1.因此y"+y=2e
x
的通解为 y=C
1
cosx+C
2
sinx+e
x
. 由f(0)=0,g(0)=2,可知f(x)是y"+y=2e
x
的满足初值条件y(0)=0,y’(0)=2的特解.将初值条件代入通解中得C
1
=一1,C
2
=1.因此f(x)=一cosx+sinx+e
x
. [*] 注意到,f(0)=0,f’(x)=g(x),因此 [*]
解析
由f’(x)=g(x)两边求导可得f"(x)=g’(x),再由g’(x)=2e
x
—f(x)可得f(x)所满足的微分方程.
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考研数学三
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