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  3. 设f(x)，g(x)满足f’(x)=g(x)，g’(x)=2ex一f(x)，且f(0)=0，g(0)=2，求∫0π[]dx．

设f(x)，g(x)满足f’(x)=g(x)，g’(x)=2ex一f(x)，且f(0)=0，g(0)=2，求∫0π[]dx．

admin2020-03-10  53
问题 设f(x)，g(x)满足f’(x)=g(x)，g’(x)=2ex一f(x)，且f(0)=0，g(0)=2，求∫0π[]dx．
选项
答案由f’(x)=g(x)可得f"(x)=g’(x)，结合g’(x)=2e2x一f(x)可得f(x)满足微分方程f"(x)=2e2x一f(x)，即 y"=2e2x一y． 在y"+y=2ex中，由于λ=1不是其齐次方程的特征根，因此它有形如y=aex的特解，将y=aex代入方程y"+y=2ex中可得a=1．因此y"+y=2ex的通解为 y=C1cosx+C2sinx+ex． 由f(0)=0，g(0)=2，可知f(x)是y"+y=2ex的满足初值条件y(0)=0，y’(0)=2的特解．将初值条件代入通解中得C1=一1，C2=1．因此f(x)=一cosx+sinx+ex． [*] 注意到，f(0)=0，f’(x)=g(x)，因此 [*]
解析 由f’(x)=g(x)两边求导可得f"(x)=g’(x)，再由g’(x)=2ex—f(x)可得f(x)所满足的微分方程．
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考研数学三

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